¿Cómo puedo demostrar que una matriz es una matriz de rotación?

Question

Tengo que demostrar que esta matriz es una matriz de rotación $$\begin{pmatrix} \frac12 & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac12 \end{pmatrix}$$ ¿Cómo lo hago? Mi idea es multiplicarlo por $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}$ y demostrar que uno de los componentes permanecerá inalterado. ¿Es esto suficiente? ¿Existen transformaciones no rotacionales que dejen una componente inalterada?

Answer 1

La siguiente caracterización de las matrices rotacionales puede ser útil, especialmente para el tamaño de la matriz $n > 2$ .

$M$ es una matriz rotacional si y sólo si $M$ es ortogonal, es decir $MM^T = M^TM = I$ y $\det(M) = 1$ .

Answer 2

Creo que falta un signo menos. Tal como está, el determinante no es $1$ . Después de arreglarlo, este caso concreto es fácil.

$$\begin{pmatrix} \frac12 & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{3} & 0 & -\sin \frac{\pi}{3} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \frac{\pi}{3} & 0 & \cos \frac{\pi}{3} \end{pmatrix}$$

Se trata de una rotación de $\pi/3$ alrededor del $y$ -Eje.