Cuando se hace esta ecuación $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) + \cos(\beta)$?

Question

Me encuentro con este problema en un avanzado libro de texto de matemáticas para el grado 11 en mi país. Y es marcado con una estrella, lo que significa que es un ejercicio difícil, y así, no hay solución para este problema está dado.

Puedo resolver problemas pidiendo que las condiciones de do $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) + \sin(\beta)$, e $\tan(\alpha + \beta) = \tan(\alpha) + \tan(\beta)$ mantener. Son bastante fáciles, y directa. Pero para este problema ($\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) + \cos(\beta)$), he probado con todos los tipos de fórmulas, de Suma de Ángulos, a la Suma del Producto, y el Doble de Ángulos, pero sin suerte.

Entonces, yo creo que debe haber algún fallo aquí que no he sido capaz de detectar.

Así que espero que ustedes me puedan dar algunos consejos, o simplemente un pequeño empujón para empezar.

Cualquier ayuda sería muy apreciada,

Muchas gracias,

Y tener un buen día :D

Answer 1

Los siguientes diagramas de contorno sugerencia de por qué la tercera ecuación desafía muchos intentos.

Otra posible explicación es que, si sustituimos $x = \tan(\alpha/2)$$y = \tan(\beta/2)$, entonces las fórmulas

$$ \sin \alpha = \frac{2x}{1+x^2}, \quad \cos \alpha = \frac{1-x^2}{1+x^2}, \quad \tan \alpha = \frac{2x}{1-x^2} $$

mostrar que

\begin{align*} \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha+\sin\beta &\quad \Longleftrightarrow \quad xy(x+y) = 0, \\ \tan(\alpha+\beta) = \tan\alpha+\tan\beta &\quad \Longleftrightarrow \quad xy(x+y)(1-xy) = 0, \\ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha+\cos\beta &\quad \Longleftrightarrow \quad 3x^2y^2 - x^2 - 4xy - y^2 - 1 = 0. \end{align*}

Esta puede ser otra razón por la que nuestra ecuación parece imposible de resolver en términos simples. Por último, una observación interesante es que

$$ \cos(\alpha+\beta) + 1 = \cos\alpha + \cos\beta \quad \Longleftrightarrow \quad xy(1-xy) = 0 $$

puede ser fácilmente resuelto.

Answer 2

Escribir $x=\cos\alpha$, $y=\cos\beta$, y ahora, escribo $\cos(\alpha+\beta)$ en términos de sólo $x$$y$. Reorganizar los términos de la ecuación de $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha+\cos\beta$ y la plaza de los dos lados. Ahora, usted deberá obtener una ecuación que puede utilizar para resolver por $y$ en términos de $x$. No parece que la solución va a ser muy bonita, aunque!

Answer 3

Puede haber una mejor manera de utilizar el mencionado transforma con $x$$y$, pero con sólo mirar a la trig como es que usted puede encontrar la "agradable" soluciones como $\alpha = 2 \pi n_1+pi, \hspace{.1cm} \beta = \frac{1}{3} (6 \pi n_2 \pm \pi)$ $\alpha = \frac{1}{3} (6 \pi n_2 \pm \pi), \hspace{.1cm} \beta = 2 \pi n_1+\pi$ para algunos enteros $n_1$$n_2$.

Me encontré con aquellos que sólo a partir de la comprobación de los números y sin mucha sofisticación. Examinar el resultado con un CAS que he encontrado es bastante general y muy desagradable resultado que implican la tangente para un rango de $\alpha$'s.