evaluación de límite de $\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{n!}{n^n}\right)^{\frac{1}{n}}$

Question

Calcular el valor del límite

$$ \lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{n!}{n^n}\right)^{1/n} $$

Podemos resolver esto sin el uso de una suma de Riemann método? Si es así, ¿cómo?

Answer 1

El Uso De Stirling:

$$n! \sim \sqrt{2 \pi n} n^n e^{-n}$$

Tenga en cuenta que

$$\left(n^{1/2}\right)^{1/n} = \exp{\left( \frac{\log{n}}{2 n}\right)} \sim 1$$

como $n \rightarrow \infty$. El límite es, a continuación,$1/e$.

Answer 2

Vamos a utilizar el resultado

$$ \lim_{n \to \infty} a_n^{1/n} = \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} .$$

Vamos $$ a_n=\frac{n!}{n^n} \implies \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!n^n}{(n+1)^{n+1}n!} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n $$

$$ \implies \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n\to \infty }\frac{1}{(1+1/n)^n} =e^{-1}. $$

Answer 3

$(1)$ A Stirling Fórmula: Aplicando la fórmula de Stirling nos permite concluir que $$\left(\frac{n!}{n^n}\right)^\frac{1}{n}=\frac{1}{e}\left(1+o(1)\right).$$

$(2)$ Suma de Riemann: Tomar el logaritmo y el aviso de que esto es $$\exp \left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\log\frac{i}{n}\right)=\exp\left(\int_{0}^{1}\log xdx\right)=\frac{1}{e}.$$

Hay que hacer notar que la fórmula de Stirling se derivan generalmente de reconocer la Suma de Riemann y el uso de análisis.