¿Por qué es $ \sin (d \Phi ) = d \Phi $ donde $d \Phi $ es muy pequeño?

Question

No he tocado la física y las matemáticas (especialmente las matemáticas continuas) desde hace mucho tiempo, así que por favor tened paciencia.

En esencia, estoy repasando unas cuantas conferencias de Física, una que trata de calcular la Fuerza ejercida por el campo magnético uniforme en un cable portador de corriente semicircular.

Las matemáticas que me desconciertan son esto, aquello:

$$ \sin (d \phi ) \thickapprox d \phi $$

donde $d \phi $ es muy pequeño. Enlace al vídeo .

Answer 1

¡Sólo dibuja el diagrama!

¿Qué es lo que $ \sin x$ Es la relación entre el lado opuesto y la hipotenusa en un triángulo.

Ahora, dibujemos un triángulo con un pequeño ángulo $x$ dentro del círculo de la unidad:

$ \quad\quad\quad $

Ahora claramente, cuando el ángulo se vuelve muy pequeño, el lado opuesto es aproximadamente la longitud del arco. En radianes, la longitud del arco en una unidad de círculo es exactamente el ángulo $x$ y así tenemos para los ángulos pequeños:

$$ \sin x = \frac { \text {opposite}}{ \text {hypot}} = \frac { \text {opposite}}{1} \approx \frac {x}{1} = x$$

Answer 2

Si estás familiarizado con la serie de Taylor sabes que la serie de $ \sin (x)$ expandido en $0$ es:

$$ \sin {(x)} = x - \frac {x^3}{6} + \frac {x^5}{120} + \cdots $$

Entonces, si $x$ es muy pequeña, puedes descuidar todos los términos de orden mayores que uno de ellos:

$$ \sin {(x)} \approx x$$

También puedes mostrar este resultado usando la trigonometría básica, pero este enfoque me parece más fácil.

Answer 3

Puedes dar una aproximación lineal para $ \sin $ cerca de $0$ basado en esta fórmula: $$f(x) \approx f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0),$$ y usando el hecho de que: $ \sin ^ \prime = \cos $ que tienes: $$ \eqalign { \sin x& \approx \sin0 +(x-0) \cos (0)= x.}$$ Así que cuando $x$ es muy pequeño, tienes que $ \sin x \sim x.$

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Lo que esto significa intuitivamente, es que cuando observas de cerca el gráfico de la curva $ \color {darkmagenta}{ \sin x}$ cerca de $0$ comienza a parecerse a una línea, y esta línea es descrita por $y= \color {darkblue}x$ .

$ \phantom {XXX}$

Answer 4

Creo que una forma de verlo es $ \displaystyle\lim_ {x \rightarrow 0} \frac { \sin x}{x}=1$ . Lo que significa que como $x$ se vuelve muy pequeña, la proporción va a uno, es decir, $ \sin x$ puede ser aproximado por $x$ .

Answer 5

En sustitución de $x$ para $d \Phi $ ...

Yo diría que $ \sin x \approx x$ cuando $x \approx 0$ porque...

1. $ \sin x$ es una función que varía suavemente sin discontinuidades.
2. $ \sin x = 0$ cuando $x = 0$
3. El gradiente de $ \sin x$ es igual al gradiente de $x$ cuando $x = 0$
4. El derivado de segundo orden de $ \sin x$ es $- \sin x$ que es $0$ cuando $x=0$

En el punto 3, el derivado de $ \sin x$ es $ \cos x$ que evalúa a $1$ cuando $x=0$ y el derivado de $x$ es $1$ (en todos los puntos).

Esto está estrechamente relacionado con la El argumento de la serie de Taylor .