Significado del exponencialmente limitada

Question

Actualmente estoy leyendo algunas notas de la conferencia en la transformada de Fourier de Distribuciones y en el mío propio, y llegó a la noción de un exponencialmente delimitada la función. Yo no estoy seguro de entender este concepto, así que me gustaría preguntar

¿Qué significa que una función $G(z,\xi)$ (donde$z \in \mathbb{R}^N$$\xi \in \mathbb{R}^n$) a ser exponencialmente limitada?

Mi conjetura es que esto significa que existe un entero $m$ y coeficientes complejos $c_{\alpha,\beta}$ tales que el polinomio

\begin{equation} P(z,\xi) = \sum_{|\alpha + \beta| \leq m} c_{\alpha,\beta}\, z^\alpha \xi^\beta \qquad (\alpha,\ \beta \text{ are multi-indices}) \end{equation} satisface \begin{equation} |G(z,\xi)| \leq \, |P(z,\xi)| \qquad \forall \, (z, \xi) \in \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^n. \end{equation}

Hacer las expresiones anteriores sentido, y es mi interpretación del polinomio acotamiento correcta?

Muchas gracias y Saludos!

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Puntos específicos para publicado recompensa:

Esta pregunta fue dada como una referencia a una pregunta sobre el Método Delta en las estadísticas.SE.

Este podría ser explicado a una escuela secundaria álgebra estudiante? Si no, a un estudiante de la universidad que ha tomado la probabilidad y álgebra lineal? Si es así, que podría ser más útil.

En concreto, sería de gran ayuda para tener explicaciones de los siguientes términos, y por qué son necesarios para definir "exponencialmente delimitada':

1. ¿Por qué el término $|\alpha + \beta| \leq m$ parte de la definición?
2. ¿Qué significa "$\alpha, \beta$ son multi-índices"?
3. $\qquad \forall (z, \xi) \in \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^n$

Con suerte, una respuesta podría responder las siguientes preguntas:

1. Es allí una manera de mirar la función y decir que es exponencialmente limitada?
2. ¿Cuál es un ejemplo de una función que no es exponencialmente limitada?
3. Es un modelo de predicción del clima exponencialmente limitada?

Por favor comentar si algunas de las preguntas sería mejor tratado como una cuestión separada.

Answer 1

A la dirección de las explicaciones:

1. Un multi-índice de $\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)$ es un elemento de $R^n$ $\alpha_i \in N$ (enteros no negativos). $|\alpha| = \sum_i \alpha_i$ es el fin de un multi-índice. Y para $z=(z_1,...,z_n)\in R^n$, el plazo $z^\alpha$ significa que el producto $z_1^{\alpha_1}...z_n^{\alpha_n}$.
2. El plazo $\alpha + \beta$ sólo tiene sentido, si $n = N$ que no está garantizado. Por lo $|\alpha|+|\beta| <= m$ debe ser utilizado significando la suma de todos los multi-índices con la suma de sus pedidos es menor o igual a $m$.
3. $\forall$ significa para todos.

Así que, básicamente, esta es la definición formal de un polinomio en varias variables de orden en la mayoría de las $m$.

Para responder a las preguntas:

1. Exponencialmente limitada es básicamente decir que la función es $\mathcal{O}(|x|^m)$. Se puede decir que esta mirando de una función.
2. La función exponencial no es exponencialmente delimitada, como $\frac{e^x}{p(x)} \to \infty$ $x\to\infty$ para cualquier polinomio $p(x)$.
3. Ni idea sobre el pronóstico del tiempo...

Para mí esto suena como: Si una función es exponencialmente acotado, sus Taylor resto es de alguna manera cada vez más pequeños, si el grado es mayor que el grado del polinomio.