Hay no nilpotent operadores con espectro de 0?

Question

Si un operador lineal en un espacio vectorial V es nilpotent, entonces su espectro es 0. Me pregunto, ¿también existen operadores con espectro 0 que no son nilpotent?

Necesariamente un operador no es invertible, pero no puedo construir ejemplos y tenía la esperanza de ver a uno.

Answer 1

Vas a tener que ir en espacios de infinitas dimensiones. Por ejemplo

$$V:=\left\{\,\{x_n\}_{n\in\Bbb N}\subset\Bbb R\right\}$$

con las operaciones habituales de suma y escalar multiplcation, y el operador

$$R:V\to V\;\;,\;\;\;R\{x_1,.x_2,\ldots\}:=\{0,x_1,x_2,\ldots\}$$

tiene cero en su espectro, pero no es nilpotent.

Answer 2

DonAntonio dio un algebraicas ejemplo. Si ponemos una norma en $V$, entonces la palabra clave es: quasinilpotent que, por definición, significa que el espectro de $=\{0\}$, es decir, el radio espectral $=0$. Nota: esto ya no es algebraico desde ahora invertible significa bijective y bi-acotada.

Esto es equivalente a nilpotent en dimensión finita (esto se deduce fácilmente de la forma normal de Jordan, con o sin norma desde el acotamiento es automática en dimensión finita), no en dimensión infinita.

Ver el operador de Volterra aquí para un contraejemplo. Ver también esta relacionada con el hecho.