Resolver quadric sistema de ecuaciones

Question

Cómo resolver analíticamente(no de una solución numérica)?

Para la real y simétrica de las matrices $A_1,A_2,A_3,A_4\in\mathbb{R}^{4\times4}$ encontrar $0\neq x\in\mathbb{R}^4$

$$x^TA_1x=0$$ $$x^TA_2x=0$$ $$x^TA_3x=0$$ $$x^TA_4x=0$$

Ejemplo:

Resolver el sistema:

\begin{align} a^2+b^2+c &=3.95 \\ ab+bc+c^2 &=4.57 \\ ac+b &=2.63 \\ \end{align} Denota: \begin{equation} x = \begin{bmatrix}a & b & c & 1\end{bmatrix}^T \end{equation}

A continuación, las matrices, $A_k$ se puede construir a partir de las ecuaciones, por ejemplo la forma $A_1$, podemos reescribir la primera ecuación en forma matricial $x^TB_1x=0$ donde: \begin{equation} B_1 = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&-3.95\\ \end{bmatrix} \end{equation}

Luego, ya de $x^TB_1x=0$ transponer conduce a $x^TB_1^Tx=0$, la suma es:
$x^T(B_1+B_1^T)x=0$ denota la matriz como $A_1=(B_1+B_1^T)$, es simétrica y $x^TA_1x=0$

Answer 1

Si usted acepta una solución numérica, entonces es posible hacer un convexo (es decir, tratable) la aproximación del problema. Introducir la matriz $X=xx^T$.

1. Reescribir las condiciones de $x^TA_kx=0$, equivalentemente, como $\text{tr}\,A_k X=0$.
2. Agregar la normalización $\text{tr}\,X=1$ para evitar la solución trivial.
3. Minimizar el rango de $X$.

Claramente, si hay un vector $x\in\mathbb{R}^4\setminus\{0\}$ que resuelve el problema original, a continuación, el rango de minimización le da un rango de una matriz, y usted puede encontrar fácilmente $x$ a través de la factorización de la óptima $X$. De lo contrario, si el rango óptimo es de dos o más, entonces no hay ninguna solución para el problema original.

Rango de minimización es bastante duro (no convexo), pero hay numerosos convexo relajaciones, por ejemplo, el uso de la nuclear de la norma. La central nuclear de la norma es simplemente una suma de todos los valores singulares de a $\|X\|_*=\sum_{k=1}^N\sigma_k(X)$, y el mínimo de la solución es conocido por ser de muy bajo rango en general. Por lo que una posible relajación del problema es la norma de minimización con restricciones lineales $$ \min_{X}\|X\|_*\qquad\text{objeto}\quad \text{tr}\,X=1,\ \text{tr}\,A_k X=0,\ k=1,...,4. $$

ACTUALIZACIÓN: también puede probar sus matrices, primero por una condición necesaria para la existencia de un no-trivial solución. Obviamente, no existe ninguna solución si no existe $\tau_k\in\mathbb{R}$ tal que la matriz $\sum_{k=1}^4\tau_kA_k$ es positiva definida. Buscando $\tau_k$ es un semi-definida de programación que puede ser resuelto de manera eficiente.

Answer 2

Cuatro ecuaciones, pero ya que son homogéneas, hay sólo tres grados de libertad (por ejemplo sobre la unidad de la esfera). Así que usted tendrá que tener la suerte de conseguir cualquier soluciones no triviales. Trate de resolver tres de éstos, junto con $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 1$, y luego ver si las soluciones que satisfacen la cuarta ecuación.

Answer 3

Escrito el ejemplo como $$ \eqalign{a^2 + b^2 + c - \dfrac{395}{100} &= 0\cr a b + b c + c^2 - \dfrac{457}{100} &= 0\cr a c+b-\dfrac{263}{100} &= 0\cr}$$ y el uso de Arce, tengo la solución racional $$ a = \dfrac{11}{10},\ b = \dfrac{6}{5},\ c = \dfrac{13}{10} $$ así como el más complicado $$ \eqalign{ a = y-{\frac {571155568\,{r}^{6}}{239293241139037}}-{\frac { 97836027296\,{r}^{5}}{5982331028475925}}+{\frac {6231586801884\,{r}^{4 }}{5982331028475925}}+{\frac {23593267878176\,{r}^{3}}{ 5982331028475925}}\cr &-{\frac {1202499156203509\,{r}^{2}}{5982331028475925 }}+{\frac {5383059078675992\,r}{5982331028475925}}+{\frac { 34070673499587139}{11964662056951850}}\cr b = & r/5\cr c = y-{\frac {4414166864\,{r }^{6}}{1196466205695185}}-{\frac {224758604064\,{r}^{5}}{ 5982331028475925}}+{\frac {8175883963396\,{r}^{4}}{5982331028475925}}+ {\frac {58329732068364\,{r}^{3}}{5982331028475925}}\cr & -{\frac { 1516933817840111\,{r}^{2}}{5982331028475925}}+{\frac {4604325789069518 \,r}{5982331028475925}}+{\frac {46730409611551821}{11964662056951850}} } $$ donde $r$ es una raíz de la irreductible séptico $$ 16\,{r}^{7}+176\,{r}^{6}-6188\,{r}^{5}-54928\,{r}^{4}+1095565\,{r}^{3} -1042350\,{r}^{2}-25308581\,r-29724296 $$ Este tiene tres raíces reales, aproximadamente $-3.258533342, -1.369218643, 14.03972857$. Su grupo de Galois es $S_7$, así que no hay soluciones radicales.

Answer 4

@ Grigory Ilizirov , de gastar su dinero de mi amigo! De hecho, Robert dio (10 meses atrás !) tres líneas de solución que muestra claramente que su problema no tiene distinto de cero soluciones cuando las $(A_i)_i$ son genéricos matrices.

Más precisamente, considerar el sistema (S) $x^TA_1x=x^TA_2x=x^TA_3x=x^Tx-1=0$. Si $x$ es una solución de (S), entonces el vector $h$ del espacio de la tangente en a $x$ del conjunto de todas las soluciones que satisface: $h^TA_1x=h^TA_2x=h^TA_3x=h^Tx=0$. A continuación, $h$ es ortogonal a las $3$ vectores $A_1x,A_2x,A_3x$ que, en el caso genérico, generar un espacio vectorial de dimensión $3$. a continuación, $h$ $x$ son vectores paralelos. Por último, la condición de $h^Tx=0$ implica que el $h=0$; llegamos a la conclusión de que $x$ es un aislado de la solución y no puede, en el caso genérico, satisface la última ecuación $x^TA_4x=0$ (de lo contrario $A_4$ dependería de $x$).

EDIT. No hay ningún general de fórmulas. Sin embargo, si usted sabe explícitamente la matrice $(A_i)$, como en el ejemplo anterior, usted puede formalmente resolver el sistema (S) $x^TA_1x=x^TA_2x=x^TA_3x=x^Tx-1=0$, el uso de la Grobner base de la teoría (el software está incluido en madera de Arce). Usted obtener todas las $16$ soluciones complejas en la forma $P_{16}(x_1)=0,$por cada $i>1, x_i=Q_i(x_1)$ donde $P_{16}$ es incluso un polinomio de grado $16$ e las $(Q_i)$ son polinomio de grado $15$. Sigue a mantener las soluciones reales. Usted puede asumir $x_1>0$; luego están entre $0$ $8$ soluciones reales. Por supuesto, el cálculo efectivo de la $(x_i)$ es imposible, porque la $P_{16}$ no es soluble por radicales.