¿Razón de la dependencia del tiempo de decoherencia de las variables?

Question

Zurek 2001 es un artículo de revisión sobre la decoherencia en la mecánica cuántica. La ecuación 5.36 de la página 24 ofrece una estimación del tiempo de decoherencia, que parafrasearé como sigue:

$ \frac{t_D}{t_R} = \left(\frac{\lambda_T}{x-x'}\right)^2 $ .

Mi intento de interpretar el significado de las variables es:

$t_D$ es el tiempo de decoherencia

$t_R$ es el tiempo de relajación térmica del objeto, que no está perfectamente aislado de su entorno

$\lambda_T$ es la longitud de onda de Broglie para la masa de todo el objeto a una energía correspondiente a la temperatura del entorno

$x-x'$ es la diferencia de posición entre dos estados de interés, es decir $t_D$ va a ser la escala de tiempo para el decaimiento exponencial del elemento no diagonal de la matriz de densidad correspondiente a $x$ y $x'$

El resultado es que para un objeto macroscópico como el gato de Schrodinger a temperatura ambiente, tenemos $t_D/t_R\sim10^{-40}$ .

Pregunta 1: ¿Estoy interpretando correctamente el significado de las variables?

Pregunta 2: ¿Puede alguien dar un argumento para explicar por qué tenemos esta dependencia particular de las variables?

Zurek llega a esta estimación tras una larguísima derivación que para mí no es muy comprensible. Lo único que he podido conseguir son algunos argumentos de plausibilidad:

1. En el límite clásico esperamos que la relación dentro de los paréntesis sea cero, y así es, ya que la longitud de onda de de Broglie es cero.

2. La coherencia es más difícil de mantener a escala macroscópica, donde $|x-x'|$ es grande.

3. El resultado es positivo, ya que el exponente es par.

Zurek, "Decoherence, einselection, and the quantum origins of the classical," http://arxiv.org/abs/quant-ph/0105127

Answer 1

La ecuación (5.36) en el (versión más reciente) del documento es:

$$_S (x, x , t) = _S (x, x , 0) e^{ t\left(\frac{xx'}{\lambda_T}\right)^2} \tag{1}$$

donde $\rho_S$ debe ser el término no diagonal del operador de densidad, $\gamma$ el coeficiente de relajación y $\lambda_T=\frac{\hbar}{\sqrt{2Mk_BT}}$ es la longitud de onda térmica de Broglie del sistema. La ecuación se desprende de su ecuación maestra (que derivaron anteriormente en el documento), en el límite de alta temperatura.

Ecuación maestra: $\dot \rho_S=-\frac{i}{\hbar}\left[ H_{ren},\rho_S\right]-\gamma(x-x')(\partial_x-\partial_{x'})\rho_S-\frac{\gamma}{\lambda_T^2}(x-x')^2\rho_S $

donde $H_{ren}$ es el Hamiltoniano renormalizado.

En el límite macroscópico (es decir, cuando $\hbar$ es pequeño en comparación con otras cantidades con dimensiones de acción, como $2M k_B T (x x )^2$ en el último término) la ecuación maestra de alta temperatura está dominada por:

$$\dot \rho_S(x,x',t)= -\gamma \left( \frac{x-x'}{\lambda_T}\right)^2\rho_S(x,x',t)$$

Resuelve esto, y la ecuación $(1)$ sigue suavemente. Ahora, el decaimiento exponencial de los términos no diagonales hace que sea plausible definir un escala de tiempo de decoherencia $\tau_D$ :

$$\tau_D=\gamma^{-1}\left(\frac{ \lambda_T}{x-x'}\right)^2$$

Ahora volvamos a las preguntas de O.P.; creo que la respuesta a la primera pregunta es sí la interpretación parece correcta( $\tau_R=\gamma^{-1}$ es el tiempo de relajación térmica).

En cuanto a la segunda pregunta, me alegraría mucho si el P.O. considera que la derivación anterior es lo suficientemente ondulada. Si no, hay una representación típica de lo que sucede en este otro documento bien conocido (alrededor de la página 13) del mismo autor. El razonamiento es en torno a las líneas de tener paquetes de onda de distribución gaussiana y hacer simulaciones numéricas y ver lo que sucede.