Si usted tiene un vistazo a mi respuesta Cuando los objetos caen a lo largo de geodésicas de caminos de la curva el espacio-tiempo, ¿por qué no hay fuerza que actúa sobre ellos? esto explica cómo en una superficie curva dos observadores en movimiento aparecerá a la experiencia de una fuerza de tirar de ellos juntos. Sin embargo, dos observadores estacionarios que se siente sin fuerza. La fuerza sólo se hace evidente cuando se mueve sobre la superficie curva.
Esto es cierto en la relatividad general, pero lo que es fácilmente olvidado por los recién llegados a GR es que en GR consideramos el movimiento en el espacio-tiempo, no sólo el espacio. Usted está siempre en movimiento en el espacio-tiempo porque usted no puede ayudar a mover en el tiempo. Su velocidad en el espacio-tiempo es conocido como el cuatro de velocidad, y, de hecho, la magnitud de las cuatro de la velocidad (técnicamente la norma) es siempre $c$. Así que usted no puede ayudar a moverse a través del espacio-tiempo (a la velocidad de la luz!)
y cuando el espacio-tiempo es curvo esto significa que usted experimentará las fuerzas gravitacionales.
Usted probablemente está familiarizado con la primera ley de Newton del movimiento. Esto nos dice que la aceleración de un cuerpo es cero, a menos que una fuerza actúa sobre ella. La segunda ley de Newton nos da la ecuación para la aceleración:
$$ \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{F}{m} $$
La teoría general de la relatividad equivalente a esto se llama la ecuación geodésica:
$$ {d^2 x^\mu \over d\tau^2} = - \Gamma^\mu_{\alpha\beta} u^\alpha u^\beta \tag{1} $$
Esto es mucho más complicado que el de Newton la ecuación, pero la similitud que debería ser obvio. A la izquierda tenemos una aceleración, y a la derecha tenemos el GR equivalente de una fuerza. Los objetos $\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$ son los símbolos de Christoffel y estos nos dicen cuánto espacio-tiempo es curvo. La cantidad de $u$ es el cuatro de velocidad.
Ahora vamos a considerar el ejemplo particular que usted describe de lanzar una pelota. Usted dice que la pelota está inicialmente estacionaria. Si estaba inmóvil en el espacio-tiempo, es decir, las cuatro de la velocidad de $u = 0$, entonces el lado derecho de la ecuación (1) siempre sería cero y la aceleración siempre sería cero. Para que la bola no se caiga. Pero las cuatro de la velocidad no es cero.
Supongamos que usamos coordenadas polares $(t, r, \theta, \phi)$ y escribir las cuatro de la velocidad como $(u^t, u^r, u^\theta, u^\phi)$. Si usted está sosteniendo la bola estacionaria en el espacio de las componentes espaciales de las cuatro de la velocidad son cero: $u^r = u^\theta = u^\phi = 0$. Pero todavía estás en movimiento a través del tiempo en (aproximadamente) de un segundo por segundo, por lo $u^t \ne 0$. Si utilizamos el geodésico de la ecuación (1) para calcular la aceleración radial obtenemos:
$$ {d^2 r \over d\tau^2} = - \Gamma^r_{tt} u^t u^t $$
El símbolo de Christoffel $\Gamma^r_{tt}$ es diabólicamente complicado para calcular así que voy a hacer lo que todos hacemos y sólo mira hacia arriba:
$$ \Gamma^r_{tt} = \frac{GM}{c^2r^2}\left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right) $$
y nuestra ecuación para la aceleración radial se convierte en:
$$ {d^2 r \over d\tau^2} = - \frac{GM}{c^2r^2}\left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right) u^t u^t \tag{2} $$
Ahora, yo no propongo ir más allá con esto porque las matemáticas se vuelve muy complicado muy rápidamente. Sin embargo, debería ser obvio que la radial de la aceleración no es cero y negativos. Que significa que la pelota va a acelerar hacia el interior. Que es, por supuesto, exactamente lo que queremos observar. Lo que es interesante es considerar lo que sucede en el límite Newtoniano, es decir, cuando GR efectos son tan pequeñas que pueden ser ignorados. En este límite, tenemos:
Si nos alimentamos de estas aproximaciones en la ecuación (2) obtenemos:
$$ {d^2 r \over dt^2} = - \frac{GM}{c^2r^2}c^2 = - \frac{GM}{r^2} $$
y esto es sólo la ley de Newton de la gravedad!
