¿Cómo encontrar el determinante de esta matriz?

Question

¿Hay un método manual para encontrar $ \det\left (XY^{-1} \right )$ ?

Deje que $$X= \left [ { \begin {array}{cc} 1 & 2 & 2^2 & \cdots & 2^{2012} \\ 1 & 3 & 3^2 & \cdots & 3^{2012} \\ 1 & 4 & 4^2 & \cdots & 4^{2012} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1 & 2014 & 2014^2 & \cdots & 2014^{2012} \\ \end {array} } \right ], $$

$$Y= \left [ { \begin {array}{cc} \frac {2^2}{4} & \frac {3^2}{5} & \dfrac {4^2}{6} & \cdots & \dfrac {2014^2}{2016} \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & 2014 \\ 2^2 & 3^2 & 4^2 & \cdots & 2014^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 2^{2012} & 3^{2012} & 4^{2012} & \cdots & 2014^{2012} \\ \end {array} } \right ] $$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Considere algo un poco más general. Deje que $$X= \left [ { \begin {array}{cc} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ 1 & x_3 & x_3^2 & \cdots & x_3^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\ \end {array} } \right ], $$ y $$Y= \left [ { \begin {array}{cc} \frac {x_1^2}{x_1+r} & \frac {x_2^2}{x_2+r} & \dfrac {x_3^2}{x_3+r} & \cdots & \dfrac {x_n^2}{x_n+r} \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \\ \end {array} } \right ]. $$

Su problema corresponde a $x_i=i+1,$ $n=2013,$ $r=2.$

Deje que $Y'$ la matriz obtenida mediante la reescalada de las columnas de $Y$ multiplicando la columna $i$ por $(x_i+r)/x_i.$ Así que $$ \det Y'= \det Y \prod_ {i=1}^n \frac {x_i+r}{x_i} $$ y $$Y'= \left [ { \begin {array}{cc}x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1+r & x_2+r & x_3+r & \cdots & x_n+r \\ x_1(x_1+r) & x_2(x_2+r) & x_3(x_3+r) & \cdots & x_n(x_n+r) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_1^{n-2}(x_1+r) & x_2^{n-2}(x_2+r) & x_3^{n-2}(x_3+r) & \cdots & x_n^{n-2}(x_n+r) \\ \end {array} } \right ]. $$

Ahora muestra que $$ \det Y'=-r \det X,$$ de la cual su determinante puede ser fácilmente evaluado. Esto se hace mediante una serie de operaciones de fila en $Y'.$ Primera fila de sustracción $1$ de la fila $2.$ Entonces intercambien las dos primeras filas. Luego divide la fila $1$ por $r$ . (Estos pasos explican el factor $-r.$ ) Ahora tenemos la matriz $$ \left [ { \begin {array}{cc}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1(x_1+r) & x_2(x_2+r) & x_3(x_3+r) & \cdots & x_n(x_n+r) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_1^{n-2}(x_1+r) & x_2^{n-2}(x_2+r) & x_3^{n-2}(x_3+r) & \cdots & x_n^{n-2}(x_n+r) \\ \end {array} } \right ]. $$ Ahora reste $r$ fila de tiempos $2$ de la fila $3$ . Entonces reste $r$ fila de tiempos $3$ de la fila $4.$ Continúa de esta forma, restando finalmente $r$ fila de tiempos $n-1$ de la fila $n.$ La matriz resultante será $X^T.$

Answer 2

No es una solución, sino un posible paso en la dirección correcta (demasiado largo para un comentario):

Siguiendo la regla de Cramer, observamos que la solución $ \vec y = (y_1, \dots ,y_{2014})^T$ a $$X \, \vec y = \pmatrix { \frac {2^2}{4} & \frac {3^2}{5} & \dfrac {4^2}{6} & \cdots & \dfrac {2014^2}{2016} }^T$$ Satisfará $$ y_1 = \det (Y^T)/ \det (X) = [ \det (XY^{-1})]^{-1} $$ Teniendo esto en cuenta: si hay otra forma de resolver esta ecuación, probablemente será más fácil que computar el determinante.

También hay que tener en cuenta que $X$ es un Vandermonde matriz.