Qué $\log p$ tienen sentido en un número finito de extensión de $\mathbb{Q}_q$?

Question

Podemos hacer que el sentido del logaritmo de prime en algunos algebraicas extensión de $\mathbb{Q}_q$, en donde el $q \neq p$ o $p = q$ y ambos números primos?

Algunas reflexiones: Un ingenuo punto de partida es quizás algo como $$ \log( 1+x) = -\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n},$$ que converge en los reales en un barrio de $|x|_\infty \leq 1$, pero $|p+1|_q$ puede ser pequeño, al menos para $q=p$ es en realidad $|p+1|_p=1$, por lo que se encuentra en el límite del círculo de convergencia, donde supongo que la radio sigue siendo por $1$ $q$ adic mundo. Hay análogos de Abel del teorema de la convergencia en la frontera?

Answer 1

Creo que has encontrado el obstáculo principal para que esto funcione. Si usted mira la función exponencial $$ E(x)=1+\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!} $$ se ve que no convergen a menos $|x|_q<1$, porque en este caso el denominador hace las cosas peor (en agudo contraste con el caso de arquímedes). Realmente necesitamos un poco más de esto, porque el $q$-ádico valor del factorial tiende hacia cero. Un análisis más profundo a partir de el hecho de que $|n!|_q=q^{-t}$, donde $$ t=\left[\frac{n}{p}\right]+\left[\frac{n}{p^2}\right]+\left[\frac{n}{p^3}\right]+\cdots= \sum_{k=1}^{\lceil\log_q n\rceil}\left[\frac{n}{p^k}\right] $$ revela que necesitamos $|x|_q<q^{-1/(q-1)}$ $E(x)$ a converger.

Así que si $x\in\mathbf{Q}_q$, entonces tenemos que tener en $x\in q\mathbf{Z}_q$ $E(x)$a converger, y, a continuación,$E(x)\equiv 1\pmod{q\mathbf{Z}_q}$. A menos que cometí un error, la búsqueda de una $x$ a partir de una extensión de campo no va a cambiar esto.

Así, para que el logaritmo de hacer sentido, la congruencia $p\equiv 1\pmod{q}$ que se observó es necesario y suficiente. Ver también http://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_exponential_function para más discusión, enlaces y soluciones.

Answer 2

Esto es más o menos una nota a pie de página, Jyrki excelente respuesta. Me parece la idea de $q$-ádico análisis ligeramente inquietante, así que voy a cambiar los nombres de las variables y hablar acerca de la $p$-ádico logaritmo.

Hay un campo de utilidad $\mathbb{C}_p$, la realización de la clausura algebraica de $\mathbb{Q}_p$, que es, en cierto sentido, el lugar natural para hacer $p$-ádico de análisis. Este contiene todas las extensiones algebraicas de $\mathbb{Q}_p$, obviamente.

Como Jyrki observaciones, el poder de la serie $$ \log(x) = \sum_{n \ge 1}\frac{(-1)^{n+1} (x-1)^n}{n} $$ converge $p$-adically para cualquier $x \in \mathbb{C}_p$ siempre $|x - 1| < 1$. Todas las extensiones finitas de $\mathbb{Q}_p$ está cerrado en la topología de $\mathbb{C}_p$, por lo que si $x$ vive en algunos finito subextension lo hace su logaritmo.

Puede ampliar el registro de sólo un poco más por el uso de la estructura del grupo. Queremos tener $\log(xy) = \log(x) + \log(y)$, por lo que cualquier raíz de la unidad en la $\mathbb{C}_p$ tenía mejor ir a cero. Ahora, todos los $x \in \mathbb{C}_p \setminus \{0\}$ puede ser escrito de una manera única en la forma $x = p^n y z$ donde $n \in \mathbb{Z}$, $y$ es una raíz de la unidad de la orden de primer a $p$, e $|z - 1| < 1$. Así, una vez que uno decide en qué $\log(p)$ debe ser (una "rama del logaritmo"), uno tiene una determinada únicamente logaritmo mapa en $\mathbb{C}_p \setminus \{0\}$.