Demostrar que XY es perpendicular en :CD

Question

En el cuadrilátero cíclico $ABCD$ el punto $E$ está en medio de $BC$ la perpendicular en $BC$ pasar el punto $E$ y se cruzan $AB$ en $X$ y la perpendicular en $AD$ pasar el punto $E$ y se cruzan $CD$ en $Y$ ¿Cuál es la prueba de que $XY$ es perpendicular en $CD$ .

He publicado este problema antes y lo he borrado, porque el diagrama no era bueno.

Answer 1

$$ \Delta BCX - \text{isosceles} \Rightarrow \angle BXE =\angle CXE. $$

$$ \angle ABC + \angle ADC = \pi \Rightarrow \angle ABC =\angle ADY. $$

$$ \angle DMY=\angle BEX=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \Delta DMY \sim \Delta BEX \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow \angle CYE = \angle BXE = \angle CXE. $$

Esto nos da que $CEXY$ cuadrilátero inscrito y $\angle XYC + \angle CEX=\pi$ .

Como $\angle CEX = \frac{\pi}{2} \ \Rightarrow \ \angle XYC = \frac{\pi}{2}$ .

Esto no es cierto si $\angle ABC = \angle DCB $ o $\angle ABC = \frac{\pi}{2}$ .

Imágenes para casos en los que $\frac{\pi}{2}> \angle ABC > \angle DCB$ ; $\angle ABC > \frac{\pi}{2}$ . Sólo por diversión. En estos casos $\Delta DMY \sim \Delta BEX$ sigue siendo cierto.