Es cada ultrafilter generado por un pequeño conjunto?

Question

Si $|X| = \kappa$, puede ser el caso que cada ultrafilter $\mathcal{F}$ $X$ es generado por un conjunto $\mathcal{F}_0 \subseteq PX$ del tamaño de la $<2^\kappa$? Aquí me dicen que $\mathcal{F}$ es generado por $\mathcal{F}_0$ si $\mathcal{F}$ es el más pequeño filtro que contiene $\mathcal{F}_0$. Digamos que $\mathcal{F}$ es pequeña generado si existe $\mathcal{F}_0$, lo que genera $\mathcal{F}$ y tiene un tamaño de $|\mathcal{F}_0| <2^\kappa$. Así que la pregunta es si cada ultrafilter es pequeño generado. Me gustaría mostrar que la respuesta es no. Si se ayuda a asumir que $\kappa$ es regular o algo, que eso estaría bien.

Desde allí se $2^{2^\kappa}$-muchos ultrafilters en $X$, un fácil contar argumento muestra que no todos los ultrafilter es generado por un conjunto de tamaño $\kappa$ (puede ser en la mayoría de las $2^\kappa$ de estos). Ni puede cada ultrafilter ser generado por un conjunto de tamaño $\lambda$ si $2^\lambda < 2^{2^{\kappa}}$. Así que bajo la GCH, la respuesta está en el hecho de que no. Pero sin GCH, podríamos $\lambda < 2^\kappa$ pero $2^\lambda = 2^{2^\kappa}$. Así que contando sólo nos llega tan lejos.

También es fácil demostrar que si $\mathcal{F}$ no es pequeño-generado, entonces, para cualquier $A \subseteq X$, el filtro generado por $\mathcal{F} \cup \{A\}$ no es pequeño-generados, o de lo contrario el filtro generado por $\mathcal{F} \cup \{\neg A\}$ no es pequeño generados, de donde $\neg A$ es el complemento de a $A$. Esto sugiere tratando de construir un no-pequeño-generado ultrafilter, comenzando con el no-pequeño-generado filtro y expandiendo de forma inductiva. Pero creo que la unión de un conjunto pequeño de la no-pequeño-filtros generados pueden ser de pequeña generados, así que no sé qué hacer en el límite de pasos. Y de todos modos, yo no sé ni de una base de caso de uso.

Answer 1

Deje $F \subseteq [\kappa]^{\kappa}$ ser una familia independiente (cada finito combinación booleana tiene el tamaño de $\kappa$) de tamaño $2^{\kappa}$. Poner $E = \{\kappa \setminus \bigcap A: A \in [F]^{\aleph_0}\}$. Deje $U$ ser un ultrafilter que contengan $F \cup E$. A continuación, $U$ no es generado por menos de $2^{\kappa}$ conjuntos. Usted puede fácilmente generalizar esta construcción para obtener $2^{2^{\kappa}}$ tal ultrafilters.

Es, sin embargo, se desconoce si es coherente tener un uniforme de ultrafilter en $\omega_1$, que puede ser generado por menos de $2^{\omega_1}$ conjuntos.