Prueba de $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} {\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}=2$ el uso de Banach del Punto Fijo

Question

Me gustaría probar $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}_{n\textrm{ square roots}}=2$ el uso de Banach del teorema de Punto Fijo.

Creo que debería usar la función de $f(x)=\sqrt{2+x}$. De esta manera, si yo inicio las iteraciones, por ejemplo, con $x_0=0$, tendré $x_1=\sqrt2$. Cuando me calcular el $x_2$ I conseguirá $\sqrt{2+\sqrt{2}}$. Y $x_3 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$ y así sucesivamente. Puedo ver que estas iteraciones son monótonas crecientes, pero ¿cómo puedo demostrar que esto converge a 2?

Pseudo-relacionadas con la fórmula que he encontrado: http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_formula

Muchas gracias de antemano!

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Siguiente clark asesoramiento, aquí está mi prueba esta es una contracción. Estoy usando el intervalo de $D=[0, 2]$.

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}$, que es monótona decreciente. Esto significa que su valor más alto en $D$ es $0$. $f'(0)=\frac{1}{2\sqrt{2}} < 1$. La tasa de $M$ de la contracción, a continuación,$\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

Answer 1

Esto no responde a su pregunta, pero podría ser de interés:

Definir que la secuencia de $\{x_n\}$ por

$$\begin{cases} x_0=0 \cr x_n = \sqrt{k+x_{n-1}}\end{cases}$$

con $k>0$

Yo reclamo que $$\lim_{n \to \infty}x_n=r$$

donde $r$ es el positivo de la raíz de la ecuación

$$\tag A x^2-x-k=0 $$

PRUEBA

$(1)$ El sequenece es cada vez mayor. Por inducción:

Es cierto para $x_0=0,x_1=\sqrt k$. Asumir cierto para $k=1,2,\dots,n$, luego

$$x_n > x_{n-1} \Rightarrow x_n+k > x_{n-1}+k \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \sqrt{x_n+k} > \sqrt{x_{n-1}+k} \Rightarrow x_{n+1} > x_n$$

$(2)$ La secuencia está acotada arriba por $r$. Por inducción:

Es cierto para $n=0,1$. Asumir cierto para $k=1,2,\dots,n$, luego

$$x_{n} < r$$

$$x_{n}+k < r+k$$

$$\sqrt{x_{n}+k} < \sqrt{r+k}=r$$

desde $r$ satisface $(A)$.

Entonces por el Teorema de Convergencia Monótona, la secuencia tiene un límite. En particular, esto significa que $\ell = \lim x_n = \lim x_{n-1}$, por lo que

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty}\sqrt{x_{n-1}+k} $$

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt{ \lim_{n \to \infty} x_{n-1}+k} $$

$$\ell = \sqrt{\ell+k} $$

$$\ell^2-\ell -k = 0 $$

Luego

$$\ell_1 = \frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}$$

o

$$\ell_2 = \frac{1-\sqrt{1+4k}}{2}$$

Pero esto último es imposible, ya que $\ell_2 <0$. De ello se sigue que

$$\ell_1 = r$$ the positive root of the equation $x^2-x-k=0$. $\blacktriangle$

Su problema es el caso especial $k=2$, lo que produce

$$\ell = \frac{1+\sqrt{1+4\cdot 8 }}{2}=2$$

Answer 2

Con el fin de utilizar de Banach fijo señaló teorema se tiene que mostrar $ |f(x)-f(y)| < M(|x-y|)$ en algún intervalo, decir $[a,b]$. Entonces su trabajo para demostrar que a partir de $x_0=c\,\,$ $x_{n+1}=f(x_n)$ se queda en ese intervalo, es decir: $a \leq x_n \leq b$,(por lo que su función está bien definida,$f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$. Que $M $ puede encontrarse $ f'(y_0) = M$ y el vinculado a la derivada. Entonces usted sabrá que el límite es la solución $f(k)=k$

EDIT: Desde que usted asumió el intervalo [0,2] usted necesita demostrar que para $y \in [0,2] $ $0 \leq f(y) \leq 2$ la primera tiene trivialmente. Para el segundo tiene $\sqrt{2+ \sqrt {2}} \leq 2 \Leftrightarrow \sqrt {2} \leq 2$ que posee. Ahora se hace, porque usted tiene que todos los $x_n$ se queda en el intervalo de tiempo que usted choosed. Así de Banach del teorema de punto fijo puede ser aplicada. (Tenga en cuenta que usted definió $f$ $D$ por lo que el paso anterior es para asegurarse de que el $f$ usted tomó está bien definido, porque cada $x_n$ $f$ definir $x_{n+1}$).