cómo encontrar x en $ax + e^x = k$

Question

en mi proyecto me he enfrentado a una fórmula que no puedo resolver. una versión muy simplificada y básica de esa ecuación puede ser reescrita como $ax + e^x = k$ por favor ayúdame a resolver esta ecuación de cálculo elemental.

Answer 1

Sea $f(x) = ax+e^x-k$ y resolver $f(x) = 0$ .

El método de Newton sería un primer comienzo razonable.

La actualización para $x$ sería $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = \frac{(x_n-1)e^{x_n}+k}{e^{x_n}+a}$ .

Answer 2

Sugerencia :

1.let $\large{f(x)=\frac{k-e^x}{a}}$ por método numérico encontrar el punto fijo de $f$

2. o que $\large{g(x)=ax + e^x - k}$ por método numérico hallar las raíces de $g$

Answer 3

 myfunc=@(a,x,k) a*x+exp(x)-k;
>> a=1;
>> k=3;
>> fun=@(x) myfunc(a,x,k);
>> x=fzero(fun,0.1,k)

x =

    0.7921

para diferentes valores de a y k, se obtiene una raíz diferente. o puede utilizar la función W de Lambert. gracias, espero que le ayude.

no es necesario utilizar parámetros adicionales $k$ simplemente hacer así

x=fzero(fun,0.1)

x =

    0.7921

Answer 4

Su ecuación puede resolverse con la función Lambert $W$ función o el más simple de un solo valor Wright $\omega$ función :

$$x = \frac{k}{a} - W_0(e^{k/a}/a) = \frac{k}{a} - \omega(k/a-\ln a)$$

para $x, a, k \in \mathbb{Z}$ y donde $W_0$ es la rama superior (principal) de la curva de Lambert $W$ función. Como sugiere @Raskolnikov, todavía no son "elementales", aunque habrá soluciones exactas para combinaciones particulares de $a$ y $k$ (por ejemplo $x = 0$ para $a = k = 1$ ). Véase mi respuesta a esta pregunta reciente para algunas sugerencias sobre el cálculo de soluciones numéricas. El documento de 2012 de Lawrence, Corless y Jeffrey es una lectura recomendada si al final necesitas implementar un método para evaluar el Wright $\omega$ función en parte o en todo el plano complejo.

Answer 5

Sea $x=\log(u)$ entonces $$ ax+e^x=k\mapsto a\log(u)+u=k $$ dividir por $a$ exponenciar, dividir por $a$ otra vez: $$ (u/a)e^{u/a}=\frac1ae^{k/a} $$ En Función Lambert-W es la inversa de $x\mapsto xe^x$ por lo que obtenemos $$ \begin{align} u/a&=\mathrm{W}\left(\frac1ae^{k/a}\right)\\ u&=a\mathrm{W}\left(\frac1ae^{k/a}\right)\\ x&=\log\left(a\mathrm{W}\left(\frac1ae^{k/a}\right)\right)\\ &=\frac ka-\mathrm{W}\left(\frac1ae^{k/a}\right) \end{align} $$ La última fórmula se deduce de $u=e^x$ y $ax+u=k$

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Iteración numérica para Lambert W

Utilizando el método de Newton, obtenemos la iteración $$ w_{\text{new}}=\frac{xe^{-w}+w^2}{w+1} $$ Valores iniciales

Para la rama principal cuando $-1/e\le x\lt0$ y cuando $0\le x\le10$ Utilice $w=0$ . En $x\gt10$ Utilice $w=\log(x)-\log(\log(x))$ .

Para la rama no principal, si $x\in[-1/e,-0.1]$ Utilice $w=-2$ y si $x\in(-0.1,0)$ Utilice $w=\log(-x)-\log(-\log(-x))$ .