¿Por qué son las métricas definidas como funciones en $\mathbb{R}^{+}$?

Question

Una métrica en un conjunto $S$ es una función de $d: S^2 \to \mathbb{R}^{+}$ que es simétrica, sub-aditivo, no negativo, y la toma de $(x,y)$ $0$fib $x=y$.

Mi pregunta es: ¿qué hace que $\mathbb{R}^{+}$ tan especial que las métricas son universalmente definido en términos de la misma? ¿Por qué no utilizar algunos otros totalmente ordenado conjunto con por lo menos un elemento de a $m$ y un abelian operador $+$ que conserva el orden y en virtud de la cual $m$ es neutral?

Para dar un paso más, ¿por qué no métricas definidas, de manera más general, a los elementos del mapa de $S^2$ a cualquier totalmente ordenado conjunto que satisface estas condiciones?

Answer 1

En la teoría de espacios métricos hay dos propiedades de los números reales, los cuales son utilizados como los valores de la métrica), que juegan un papel importante. La primera es que el $\mathbb{R}$ es de Arquímedes, lo que significa que $\mathbb{N}$ no está delimitado por encima de en $\mathbb{R}$. La segunda es que el $\mathbb{R}$ satisface el supremum de la propiedad, es decir, cada conjunto no vacío que delimitada de arriba tiene una supremum.

Para tener una idea de cómo estos son utilizados en el espacio métrico teoría veamos primero cómo se usan en el análisis real.

Archimediean propiedad: Aquí son sólo un par de las muchas cosas que uno puede probar que son equivalentes a los de Arquímedes de la propiedad en cualquier ordenó campo $\mathbb{F}$:

• La secuencia de $\{1/n\}_{n=1}^\infty$ converge a $0$ (aquí la convergencia es w.r.t. el valor absoluto del valor definido en cualquier ordenó campo).
• Si $x \in \mathbb{F}$$-1 < x < 1$$x^n \to 0$$n \to \infty$.
• Si $x \in \mathbb{F}$ $-1 < x < 1$ $\sum_{n=0}^\infty x^n$ converge a $1/(1-x)$.

Supremum propiedad: Aquí hay un par de cosas equivalente a la supremum propiedad en cualquier ordenó campo $\mathbb{F}$:

• Cada acotada y monótona sucesión es convergente.
• $\mathbb{F}$ es de Arquímedes, y cada secuencia de Cauchy es convergente (aquí Cauchy también se define con el valor absoluto en $\mathbb{F}$).

Ciertamente, todos los anteriores puntos de bala se utilizan muy frecuentemente en las pruebas de análisis real. El punto clave aquí es que a menudo son utilizados en la métrica de la teoría de las pruebas así! La Arquímedes ejemplos se utilizan todo el tiempo. Para mostrar que $x_n \to x$ en un espacio métrico a menudo nos muestran que $d(x_n,x) \to 0$ $\mathbb{R}$ mostrando que es acotada arriba por algo de la forma anterior, decir $C /n$ o $C/2^n$. La serie geométrica se utiliza en algunas de las principales pruebas: por ejemplo, es el componente principal de la prueba de Banach del teorema de punto fijo.

El supremum de la propiedad de las equivalencias se utilizan de vez en cuando en las pruebas, sino que también juegan un papel esencial en la teoría de la integridad. Todas las pruebas que muestran que un espacio métrico tiene un finalización se basan fundamentalmente en el hecho de que $\mathbb{R}$ es en sí mismo un espacio métrico completo, el cual es dado por uno de los anteriores puntos. La existencia de una terminación es bastante útil en un par de lugares.

Así, el resultado es que utilizamos $\mathbb{R}$ en el espacio métrico de la teoría, ya que nos permite portar un montón de trucos / resultados / ideas de análisis real a las métricas de análisis. ¿Significa esto que es un ingrediente necesario en la definición? Ciertamente que no. Por ejemplo, en la discusión anterior les hable acerca de cómo utilizar el valor absoluto arbitraria ordenó campos para definir la convergencia. Esto funciona perfectamente bien como un sustituto para una métrica y da lugar a una forma razonable de hacer el análisis. Podemos pensar en esto como un "$\mathbb{F}-$métrica" $d: \mathbb{F} \times \mathbb{F} \to \mathbb{F}^+$, y en principio también podemos definir algo como esto en general los espacios.

Si $\mathbb{F}$ es de Arquímedes, a continuación,$\mathbb{F} \subseteq \mathbb{R}$, y así que en realidad tenemos una métrica! Esto significa que solo tenemos algo "nuevo" al $\mathbb{F}$ no es de Arquímedes, pero en este caso todo tipo de cosas raras. Por ejemplo, sin el Arquímedes de la propiedad se convierte en algo bastante difícil de demostrar que las cosas convergen por la delimitación de la distancia de una secuencia conocida desde $1/n$, $2^{-n}$, etc ya no convergen a $0$.

No he pensado mucho acerca de lo que sucede si nos vamos a la métrica tomar valores en un arbitrario ordenó Abelian grupo (creo que esto es lo que podríamos obtener por lo que dices más arriba), pero sospecho que el problema más grande que volverá a ocurrir cuando dejamos el contexto de Arquímedes ordenó grupos.

Answer 2

Puede definir una métrica con valores en otro conjunto como usted propone. Sin embargo, también puede asignar este conjunto de sus valores de métricas para un subconjunto de los números reales. Por otro lado, no tiene sentido considerar un conjunto más general como, por ejemplo, los números complejos. Por lo tanto, los números reales son los canónica conjunto general. También hay que tener en cuenta que las definiciones son sólo nombres que deberían ser útiles para abreviar patrones comunes. El término métrica en el sentido habitual que proporciona una amplia aplicabilidad en el sentido descrito anteriormente.

Es sólo una definición que se aplica a muchas aplicaciones. Por lo tanto es útil y, por tanto, justificado.

Relativos a mi respuesta anterior: Otros conjuntos son equivalentes a través de una adecuada asignación de los subconjuntos de los números reales o el sacrificio de las propiedades que se celebra por los números reales que son útiles.