Los números reales que son modificables como las diferencias de dos números trascendentales

Question

Es cierto que para cada número real $x$ existen trascendental números de $\alpha$ $\beta$ tal que $x=\alpha-\beta$?

(es cierto si $x$ es un número algebraico).

Answer 1

Si $x$ es algebraica, luego tome $\alpha=x\pi$$\beta=x(\pi-1)$.

Si $x$ es transcedental, a continuación, tome $\alpha=2x$$\beta=x$.

Answer 2

Sí, ya que el conjunto de los números algebraicos es contable.

Deje $\mathbb{T}$ denota el conjunto de trascendental números, y para $\alpha\in \mathbb{T}$ deje $f(\alpha)=\alpha-x$. A continuación, $f$ es una inyección de$\mathbb{T}$$\mathbb{R}$, por lo que su rango de $ran(f)$ es incontable desde $\mathbb{T}$ es. Pero desde $\mathbb{R}\setminus\mathbb{T}$ (el conjunto de los números algebraicos) es contable, esto significa $ran(f)$ contiene algún elemento de $\mathbb{T}$.

Así que vamos a $\alpha\in\mathbb{T}$ ser tal que $f(\alpha)\in\mathbb{T}$, y establecer $\beta=f(\alpha)$; a continuación, $\alpha, \beta$ son trascendentales y $\alpha-\beta=x$.

Answer 3

Una vez que sabemos que $e$ es trascendental, también sabemos que $e^2$ $e^2-e$ son trascendentales porque dado un polinomio satisfecho por cualquiera de ellas podemos encontrar un polinomio de $e$. A continuación, dado algebraicas $a \in \Bbb R$ podemos escribir $a = (a+e)-e$. Dado trascendental $a \in \Bbb R$ nos puede escribir $a=(a+e)-e$ o $a=(a+e^2)-e^2$. Sabemos que al menos uno de $a+e, a+e^2$ es trascendental porque si eran ambos algebraicas, por lo que la $e^2-e$.

Answer 4

Supongamos que existe algún número real x que no puede ser escrito como la diferencia trascendental de los números. A continuación, para cada trascendental número y existe un único algebraica de números z = y+x. Pero esto significa que existe una función inyectiva f(a) = a+x a partir de la trascendental números a los números algebraicos, lo que implica la cardinalidad de la trascendental números es menor que o igual a la de los números algebraicos. Pero sabemos que esto es falso ya que la cardinalidad de los números algebraicos es estrictamente menor que la de los trascendentales.

Q. E. D.