¿Es que una contradicción es este ejercicio?

Question

El siguiente ejercicio fue una solución para este problema

Deje $\displaystyle\frac{2x+5}{(x-3)(x-7)}=\frac{A}{(x-7)}+\frac{B}{(x-3)}\space \forall \space x \in \mathbb{R}$. Encontrar los valores de $A$ $B$

El proponer la resolución fue:

Con el fin de aislar $A$ en el lado derecho, se multiplica toda la ecuación por $x-7$

$\displaystyle\frac{(2x+5)(x-7)}{(x-3)(x-7)}=\frac{A(x-7)}{(x-7)}+\frac{B(x-7)}{(x-3)}$

Ahora es mi duda. La resolución sugiere que $x-7$ cancelar.

$\displaystyle\frac{(2x+5)}{(x-3)}=A+\frac{B(x-7)}{(x-3)}$

Pero, $x-7$ puede ser igual a cero. En esta situación, se permite realizar esta operación? Uno puede decir que "para cada $x\neq7$", pero en el siguiente paso, la resolución dice que "para $x=7$ tenemos".

$\displaystyle\frac{(14+5)}{(7-3)}=A+\frac{B(0)}{(7-3)} \Leftrightarrow A=\frac{19}{4}$

Creo que hay una contradicción está presente resolución.

Answer 1

El bit incorrecto es '$\forall x\in\Bbb R$.' De hecho debemos descartar de $x=7$ y $x=3$ para evitar problemas. Lo que todavía puede hacer en ese caso se toma el límite como $x$enfoques $7$ (que no podemos apenas enchufe $x=7$, si hemos declarado que $x\ne 7$) y obtienes el mismo resultado.

Answer 2

Si $\frac{2x+5}{x-3}=A+B\frac{x-7}{x-3}$ para todos #% de %#% o $x\ne 7$, entonces podemos tomar el límite como $3$ en ambos lados para obtener el resultado, y puesto que ambos lados son continuos, es equivalente a apenas tapando en $x\to 7$.