Hartshorne exige (en su Geometría algebraica ) un presheaf (de grupos abelianos) para enviar el conjunto vacío al grupo cero. Pero la definición de Wikipedia no tiene esa condición (sólo un functor contravariante de la categoría de subconjuntos abiertos a la categoría de grupos abelianos). No creo que la condición se desprenda automáticamente de la definición. ¿Está Hartshorn definiendo un presheaf específicamente diseñado para las variedades?
Respuesta
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La definición del libro de Hartshorne es errónea. Por supuesto, no es malo tratar sólo con presheaves con esta propiedad, pero en el entorno general uno no debería forzar esto como parte de la definición. Un presheaf en un entorno abstracto es sólo un functor contravariante $\tau^{op} \to ?$ , donde $?$ es una bonita categoría y $\tau$ es algún sitio; puede no tener ningún objeto inicial, por lo que no tiene sentido hablar de $\emptyset$ . E incluso si existe, la categoría de los presheaves enviando $\emptyset \mapsto *$ no se comportará tan bien como el topos de Grothendieck de todos los presheaves.
Sin embargo, las gavillas tienen automáticamente la propiedad de que $F(\emptyset)=*$ (aplicar la condición de gavilla a la cobertura vacía de $\emptyset$ ), o en el ámbito abstracto: $F$ debe preservar el objeto terminal (es decir, si existe).
PD: Las definiciones de Hartshorne de los haces vectoriales (¡características!), las gavillas coherentes (confundidas con las de tipo finito; sólo son equivalentes en el caso noetheriano) y los morfismos proyectivos ( $\mathbb{P}^n$ en lugar de $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ , sólo equivalente sobre base proyectiva) también son "erróneas", aunque se puede trabajar con ellas bastante bien en el contexto del libro, por supuesto. Probablemente esto también motivó estas definiciones ad hoc.
En cualquier caso, para las definiciones "correctas", véase EGA , SGA , FGA ;) o el SP ;).
