Múltiple con 3 puntos críticos no degenerados

Question

Supongamos que $M$ es una variedad n-dimensional (compacta) y $f$ es una función diferenciable con exactamente tres puntos críticos (no degenerados). Entonces se puede demostrar, utilizando la teoría de Morse, que $M$ es homeomorfo a $\frac{n}{2}$ esfera con un $n$ celda adjunta.

Entiendo por qué tendremos puntos críticos con el índice $0$ y $n$ (ya que $M$ es compacta y alcanza sus máximos y mínimos). Mi pregunta es exactamente por qué hay uno de índice $\frac{n}{2}$ ?

Por dualidad de Poincare, tenemos que $H^{k}(M) \cong H_{n-k}(M)$ . Así que si $k$ no es $\frac{n}{2}$ entonces $n-k \neq k$ por lo que tendremos dos clases adicionales de (co)homología distintas de cero. Corresponde esto de alguna manera a tener dos puntos críticos adicionales, contradiciendo que sólo hay 3?

Answer 1

Siempre puedes hacer $\mathbb{Z}/2$ homología de Morse, porque entonces tu múltiple está garantizado que es orientable con respecto a tu sistema de coeficientes, y entonces tiene que ser que $H_0(M;\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2$ y $H_n(M;\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2$ . Así que no sólo sabemos que tenemos puntos críticos de índice $0$ y $n$ pero sabemos que en realidad tienen que descender a generadores en homología. Esto significa que todas las diferenciales en nuestro complejo de Morse serán cero, por lo que los generadores en el complejo son los mismos que los generadores para la homología. Esto prueba que el último tipo tiene que estar en dimensión $n/2$ Como usted señala, esto significa que $M$ es homeomorfo a $S^{n/2}$ con un $n$ -célula adjunta.

*** Sólo para poner lo que dije en los comentarios aquí en la respuesta: Este último punto crítico tiene algún índice $k\in [0,n]$ y se convierte en generador de $H_k(X)$ (con coeficientes, si quieres). Pero es trivial ver que cuando $f$ es una función Morse, entonces $-f$ es también una función de Morse, y que este punto crítico de índice $k$ se convertirá en un punto crítico del índice $n-k$ para $-f$ . Y $-f$ satisface igualmente lo que acabo de decir, es decir, todos sus puntos críticos se convierten también en generadores de homología. Así que si crees que la homología (de Morse) es un invariante topológico, entonces debe ser cierto que $n-k=k$ .

Edita: Como explica Jason en respuesta a mi pregunta relacionada las únicas variedades a las que se puede aplicar esta pregunta son homotópicamente equivalentes a $\mathbb{R}P^2$ , $\mathbb{C}P^2$ , $\mathbb{H}P^2$ y $\mathbb{O}P^2$ ¡! Loco.

Answer 2

Advertencia: Realmente no sé de lo que estoy hablando.

Dicho esto: Parece que $-f$ también será una función morse con 3 puntos críticos. Claramente el punto crítico de índice 0 de $f$ corresponderá a un índice $n$ uno para $-f$ y análogamente para el índice $n$ punto crítico de $f$ . Nos quedamos con nuestro punto crítico de índice desconocido... Pero creo que tendría sentido que si ponemos dos funciones morse en una manifold, $f$ y $g$ y tienen el mismo número de puntos críticos y los índices coinciden todos excepto un índice desconocido para cada función, entonces estos dos restantes deben coincidir. Así que parece que el punto crítico desconocido debe tener el mismo índice en $f$ y $-f$ lo que significa que debe tener el índice $n/2$ .

De hecho... la afirmación de que si $f$ es una función Morse también lo es $-f$ es una especie de versión infantil de la dualidad de Poincare (da la correspondencia entre celdas que se desea, pero no da inmediatamente el mapa con el producto cap). Así que tal vez este argumento es más o menos lo que estabas diciendo ...