$x^2-1$ con factores primeros < 100

Question

Estoy leyendo en un papel sobre todo enteros x tal que $x^2-1$ tiene solamente factores primeros menor que 100 (Luca y Najman).

Mi problema es que no es obvio para mí que el número de x sería finito. Me da la sensación que los autores piensan es demasiado simple ser explicado, pero todavía me pregunto si alguien podría hacerme un favor de demostrar que me.

Answer 1

Me dio el problema adicional de pensamiento, utilizando la ecuación de Pell para fijo d en las ecuaciones siguientes (es posible que desee revisar la prueba):

El uso de Brahmagupta de la técnica, se pueden combinar dos de las ecuaciones de Pell $((x_1)^2-d(y_1)^2)=1$ $((x_2)^2-d(y_2)^2)=1 $ para obtener $((x_1)^2-d(y_1)^2)((x_2)^2-d(y_2)^2)=((x_1)(x_2)+d(y_1)(y_2))^2 - d((x_1)(y_2+(x_2)(y_1))^2$

El segundo nivel más bajo de solución cuya componente x ahora llamamos a $x_2$ puede lograrse mediante la combinación de la primera solución con sí mismo para obtener el primer superior de la solución de $(x_2,y_2,d)$ y obtener $x_2=2x_1^2-1 $ (mediante la sustitución de $d(y_1)^2)= (x_1)^2-1 $, e $y_2=2(x_1)(y_1)$.

Se observa que el$ (x_2)^2-1=(2x_1^2-1)^2-1=$$4(x_1)^2 ((x_1)^2-1) =d(y_2)^2=d(2(x_1)(y_1))^2$.

La LHS, en la última ecuación contiene el factor de $ (x_1)^2-1$. Esto implica que este factor ($ (x_1)^2-1$ ) no contiene ninguno de los números primos que componen $x_1$ desde $(x_1)^2-1=-1$ (mod p) para todos los números primos p en x.

Si $x_2$ se combina con $x_1$ obtenemos la tercera más baja de la solución de $x_3$: $ (x_3)^2-1= d(y_3)^2= (x_3)^2-1= ((x_1)*(x_2)+d*(y_1)*(y_2))^2-1=((x_1)*(2*(x_1)^2-1)+d*(y_1)*(2(x_1)*(y_1)))^2-1 $

de modo que $ (x_3)^2-1$ es igual a una constante $C(x_1)-1$. Como en el anterior, esto muestra que todos los valores sucesivos de x para el elegido d debe contener nuevos números primos. Puesto que d también está sujeto a las mismas limitaciones de ser parte de $(x_3)^2-1$ debe haber un número limitado de x, tal que $x^2-1$ contiene un número limitado de números primos. (Yo he usado– sin pruebas – el hecho de que el proceso de combinación de los rendimientos de todas las posibles soluciones de la ecuación de Pell para un determinado d. Me doy cuenta de que podría haber sido más elegante el uso de $x ± \sqrt{d}y$).

Edit: ahora veo que la segunda parte de la prueba sólo nos dice que el aumento de las combinaciones son diferentes desde la más cercana menor el hecho de que y más alto el primer factor que aumenta cada vez más combinaciones (como lo hacen), no se sigue de la prueba, como yo creía.