Esto es para hacer la tarea.
Se supone que debo hacer ejercicio 4.1.4 en Nacedoras "Topología Algebraica", que es demostrar que, dado un universal que cubre $p: \tilde{X} \to X$ de una trayectoria-conectado espacio de $X$, la acción de la $\pi_1(X)$ $\pi_n(X)$ puede ser identificado con la inducida por la acción del grupo de la cubierta transformaciones $G(\tilde{X}) \simeq \pi_1(X)$ (desde $p$ es la cobertura universal) en $\pi_n(\tilde{X})$.
Creo que tal vez mi problema radica en el hecho de que no tengo una buena intuición de la acción de la $\pi_1(X)$$\pi_n(X)$, pero de todos modos, esto es lo que he hecho:
Deje $[\gamma] \in \pi_1(X)$ ser la clase del bucle $\gamma: I \to X$ en el punto de base, y denotan por $d_\gamma: \tilde{X} \to \tilde{X}$ de los asociados de la cubierta de la transformación. A partir de esto nos puede inducir a una automorphism $d_\gamma * : \pi_n(\tilde{X}) \to \pi_n(\tilde{X})$ $d_\gamma*[\tilde{f}] = [d_\gamma \circ \tilde{f}]$ algunos $\tilde{f} : S^n \to \tilde{X}$.
Lo que a cada elemento de a $[\gamma]$ $\pi_1(X)$ podemos asociar un automorphism $\pi_n(\tilde{X}) \to \pi_n(\tilde{X})$. Esta es la acción de $\pi_1(X)$$\pi_n(\tilde{X})$.
Ahora de $p: \tilde{X} \to X$ tenemos isomorphisms de la mayor homotopy grupos de $X$$\tilde{X}$, por ejemplo,$p_*: \pi_n(\tilde{X}) \to \pi_n(X)$.
Por lo que he entendido yo quiero mostrar que la inducida por la acción de un elemento del grupo de $[\gamma]$ $\pi_n(\tilde{X})$ a través de este isomorfismo es igual a la acción de la $[\gamma]$$\pi_n(X)$, donde la acción de $[\gamma]$ es el automorphism $[f] \mapsto [\gamma f]$ donde $\gamma f: S^n \to X$ es como se describe en el libro (es la "canónica" de la acción de $\pi_1(X)$$\pi_n(X)$).
En otras palabras, quiero mostrar que $p_*(d_\gamma*[\tilde{f}] ) = [\gamma f]$ $f: S^n \to X$ tener $\tilde{f}: S^n \to \tilde{X}$ como ascensor.
Pero mi problema es este: Desde $d_\gamma$ es una cubierta de transformación (una permutación de las fibras), he a $(p \circ d_\gamma)(\tilde{x}) = p(\tilde{x})$ todos los $\tilde{x} \in \tilde{X}$$d_\gamma \in G(\tilde{X})$, por lo tanto tengo que $$ p_* \left( d_\gamma*[\tilde{f}] \right) = p_* \left( [d_\gamma \circ \tilde{f}] \right) = [p \circ d_\gamma \circ \tilde{f}] = [p \circ \tilde{f}] = [f] $$ Por tanto, si la declaración creo que estoy probando es cierto, entonces $$ [\gamma f] = p_* \left(d_\gamma*[\tilde(f)] \right) = [f] $$ para todos los $[\gamma] \in \pi_1(X)$, y la acción es trivial.
Gracias de antemano por su ayuda!
