La acción del grupo de transformación de la cubierta de los mayores grupos de homotopía

Question

Esto es para hacer la tarea.

Se supone que debo hacer ejercicio 4.1.4 en Nacedoras "Topología Algebraica", que es demostrar que, dado un universal que cubre $p: \tilde{X} \to X$ de una trayectoria-conectado espacio de $X$, la acción de la $\pi_1(X)$ $\pi_n(X)$ puede ser identificado con la inducida por la acción del grupo de la cubierta transformaciones $G(\tilde{X}) \simeq \pi_1(X)$ (desde $p$ es la cobertura universal) en $\pi_n(\tilde{X})$.

Creo que tal vez mi problema radica en el hecho de que no tengo una buena intuición de la acción de la $\pi_1(X)$$\pi_n(X)$, pero de todos modos, esto es lo que he hecho:

Deje $[\gamma] \in \pi_1(X)$ ser la clase del bucle $\gamma: I \to X$ en el punto de base, y denotan por $d_\gamma: \tilde{X} \to \tilde{X}$ de los asociados de la cubierta de la transformación. A partir de esto nos puede inducir a una automorphism $d_\gamma * : \pi_n(\tilde{X}) \to \pi_n(\tilde{X})$ $d_\gamma*[\tilde{f}] = [d_\gamma \circ \tilde{f}]$ algunos $\tilde{f} : S^n \to \tilde{X}$.

Lo que a cada elemento de a $[\gamma]$ $\pi_1(X)$ podemos asociar un automorphism $\pi_n(\tilde{X}) \to \pi_n(\tilde{X})$. Esta es la acción de $\pi_1(X)$$\pi_n(\tilde{X})$.

Ahora de $p: \tilde{X} \to X$ tenemos isomorphisms de la mayor homotopy grupos de $X$$\tilde{X}$, por ejemplo,$p_*: \pi_n(\tilde{X}) \to \pi_n(X)$.

Por lo que he entendido yo quiero mostrar que la inducida por la acción de un elemento del grupo de $[\gamma]$ $\pi_n(\tilde{X})$ a través de este isomorfismo es igual a la acción de la $[\gamma]$$\pi_n(X)$, donde la acción de $[\gamma]$ es el automorphism $[f] \mapsto [\gamma f]$ donde $\gamma f: S^n \to X$ es como se describe en el libro (es la "canónica" de la acción de $\pi_1(X)$$\pi_n(X)$).

En otras palabras, quiero mostrar que $p_*(d_\gamma*[\tilde{f}] ) = [\gamma f]$ $f: S^n \to X$ tener $\tilde{f}: S^n \to \tilde{X}$ como ascensor.

Pero mi problema es este: Desde $d_\gamma$ es una cubierta de transformación (una permutación de las fibras), he a $(p \circ d_\gamma)(\tilde{x}) = p(\tilde{x})$ todos los $\tilde{x} \in \tilde{X}$$d_\gamma \in G(\tilde{X})$, por lo tanto tengo que $$p_* \left( d_\gamma*[\tilde{f}] \right) = p_* \left( [d_\gamma \circ \tilde{f}] \right) = [p \circ d_\gamma \circ \tilde{f}] = [p \circ \tilde{f}] = [f]$$ Por tanto, si la declaración creo que estoy probando es cierto, entonces $$[\gamma f] = p_* \left(d_\gamma*[\tilde(f)] \right) = [f]$$ para todos los $[\gamma] \in \pi_1(X)$, y la acción es trivial.

Gracias de antemano por su ayuda!

Answer 1

El problema es con base a los puntos:

Usted escribe:

A partir de esto nos puede inducir a una automorphism $d_\gamma*:\pi_n(\tilde X)\rightarrow\pi_n(\tilde X)$ $d_\gamma *[\tilde f]=[d_\gamma\circ\tilde f]$ algunos $\tilde f:S^n\rightarrow \tilde X$.

Pero aviso que $[\tilde f]$ tiene una base diferente punto de $[d_\gamma\circ\tilde f]$, por lo que no es del todo correcto decir $d_\gamma *$ es un "automorphism", ya que técnicamente, $[\tilde f]$ $[d_\gamma\circ\tilde f]$ pertenecen a grupos diferentes.

Son isomorfos grupos y así parece que la mejor cosa a hacer sería lo que hizo, entonces volver al grupo $[\tilde f]$ vive en el isomorfismo $\tilde\gamma_ *^{-1}$ que es un cambio de punto de base de la transformación en $\tilde X$ a través de la ruta de $\tilde\gamma$ que es la elevación de $\gamma$ que corresponde a la cubierta de transformación de $d_\gamma$.

Siendo un ascensor de $\gamma$, esto debería funcionar de la manera que usted desea.