Denota por $M_{n \times n}(k)$ el anillo de $n$ por $n$ matrices con coeficientes en el campo $k$ . Entonces, ¿por qué este anillo no contiene ningún ideal de dos caras?
Gracias por cualquier aclaración, y esto es un ejercicio de los apuntes de Álgebra Conmutativa de Pete L Clark, del que pensé que era sencillo pero ahora no lo puedo resolver.
Suponga que tiene un ideal $\mathfrak{I}$ que contiene una matriz con una entrada no nula $a_{ij}$ . Multiplicando por la matriz que tiene $0$ 's en todas partes excepto en una $1$ en la entrada $(i,i)$ , matar todas las filas excepto la $i$ fila; multiplicando por una matriz adecuada a la derecha, mata todas las columnas excepto la $j$ columna; ahora tienes una matriz, necesariamente en $\mathfrak{I}$ que contiene exactamente una entrada no nula, a saber $a_{ij}$ en posición $(i,j)$ .
Ahora demuestre que $\mathfrak{I}$ debe contener todo matrices en $M_{n\times n}(k)$ . Esto demostrará que un $2$ -El ideal de la cara consiste en sólo el $0$ matriz, o debe ser igual a todo el anillo.
Añadido. Ahora que tienes una matriz que tiene una única entrada distinta de cero, ¿puedes obtener una matriz que tenga una única entrada distinta de cero en cualquier coordenada que especifiques, y tal que esta entrada distinta de cero sea cualquier elemento de $k$ que quieras, multiplicando esta matriz (a la izquierda, a la derecha o a ambas) por matrices elementales adecuadas? ¿Estarán todas en $\mathfrak{I}$ ?
Y...
$$\left(\begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} a & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right) + \cdots$$
Bueno, @Arturo Magidin, el último párrafo es por lo que no puedo entenderlo, es decir, por qué esto implica que $\mathfrak{I}$ debe contener todo matrices en $M_{n*n}$ ? Puede ser más específico, por favor, gracias en cualquier caso.
¡Lo tengo! ¡Muchas gracias, me ha aclarado todas las cosas de tal manera que me siento un tonto! En cualquier caso, muchas gracias.
@awllower: Bueno, para que te sientas mejor, prueba la siguiente generalización: si $R$ es un anillo conmutativo con identidad, entonces los ideales de $M_{n\times n}(R)$ son exactamente los subrings de la forma $M_{n\times n}(\mathfrak{I})$ , donde $\mathfrak{I}$ es un ideal de $R$ .
Un resultado más rápido y general, que Arturo insinuó, se obtiene a través de la siguiente proposición de Grillet Álgebra abstracta sección "Anillos y módulos semisimples", página 360:
Consecuencia: si $R:=D$ es un anillo de división, entonces $M_n(D)$ es simple.
Prueba: Supongamos que existe un ideal de $M_n(D)$ . Por la proposición, sería de la forma $M_n(I)$ , para $I\unlhd D$ pero los anillos de división no tienen ningún ideal (aparte de $0$ y $D$ ), por lo que se trata de una contradicción. $\blacksquare$
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Perdón por publicar una pregunta elemental, pero estoy muy atascado.
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Curiosamente, un alumno de mi curso me preguntó por este ejercicio durante una sesión de problemas. Mi respuesta: "¿Qué? Eso no es un conmutativo pregunta de álgebra: ¿cómo llegó eso ahí?" (¡Y no he respondido a la pregunta!) Es, por cierto, una no pregunta de álgebra conmutativa. Cualquier texto básico que trate las álgebras centrales simples sobre un campo debería cubrir esto.
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@Pete: Y cualquier libro sobre anillos no conmutativos, ya que proporciona el ejemplo estándar de un ideal que es primo pero no completamente primo.
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@Pete ¿Realmente necesitas buscar en un libro de álgebras centrales simples para encontrar este hecho? En realidad, es uno de los primeros teoremas que aprendí después de la definición de "ideal".
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@Amitesh: no, no es así. (No creo haber dicho que lo hicieras...) De hecho, ahora que estoy impartiendo un curso de álgebra no conmutativa, puedes mirar en mis propios apuntes de clase, que estarán disponibles en breve. :) Pero para que quede claro, se trata de un ejercicio completamente elemental y no muy difícil, sí.
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Un comentario muy tardío: como se ha mencionado anteriormente, la clasificación de los ideales de dos caras de $M_n(R)$ aparece como Teorema 22 en $\S$ 1.10 de mis notas de álgebra no conmutativa: math.uga.edu/~pete/noncommutativealgebra.pdf . El enunciado y la prueba son prácticamente idénticos al extracto del libro de Grillet que aparece en la respuesta de Leon Lampret (a pesar de que no poseo el libro de Grillet, es decir, se trata de un resultado muy estándar).
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@PeteL.Clark: Gracias por decírmelo. Además, me disculparé por el retraso de la respuesta. Gracias de nuevo por tu comentario aureado.