Si encuentra $(x+\sqrt{x^2 + 1})(y+\sqrt{y^2 + 1})=p$, $x+y$

Question

Me da este problema de factorización y he probado muchas cosas, pero no podía solucionarlo. ¿Alguien, por favor, me puede dar una pista?

Si encuentra $(x+\sqrt{x^2 + 1})(y+\sqrt{y^2 + 1})=p$, $x+y$. Aquí $x, y$ y $p$ son números reales.

Gracias

Answer 1

La identidad no determina $x+y$.

Ejemplo: Deje $p=4$ y $(x,y)=\left(0,\frac{15}8\right)$ y $(x,y)=\left(\frac34,\frac34\right)$ son dos soluciones, $x+y=\frac{15}8$ y $x+y=\frac32$ respectivamente.

Answer 2

Como otras respuestas, el problema es indeterminado. Sin embargo, si introducimos una restricción podemos producir la solución particular de la OP menciona en su comentario.

Por la inspección de la ecuación es simétrica en $x$ y $y,$ así una restricción natural intentar es $x=y.$

Si imponemos esta restricción, entonces $$x + \sqrt{x^2+1}=\sqrt{p}$ $ $$\sqrt{x^2+1} = \sqrt{p}-x$ $ $$x^2+1=p-2\sqrt{p}x+x^2$ $ $$x=y={{p-1} \over {2\sqrt{p}}}$ $ después $ de $$x+y={{p-1} \over \sqrt{p}}$

Answer 3

Debemos dividir ambos lados de la ecuación por (x + sqr (x ^ 2 + 1)). Esto le da (y + sqr (y ^ 2 + 1) = q, donde hemos definido q = p / (x + sqr (x ^ 2 + 1)). Resolver la ecuación para y rendimientos: y = (q ^ 2 - 1)/(2q). Ahora todo lo que tenemos que hacer es añadir x a este resultado para y y terminan con la expresión requerida. Lo que tienes es una función de x y p. [como otros han demostrado, el resultado no es constante para un p dado].

Answer 4

Que $x=\sinh a$ y $y=\sinh b$. Entonces tenemos $e^{a+b}=p\iff a+b=\ln p$. Ya que estamos careciendo una segunda ecuación, el sistema es indeterminado. Dependiendo de cómo nos dividimos $\ln p$ en dos partes a y b, $\sinh a+\sinh b$ tendrá soluciones totalmente diferentes.