Mostrar no correlacionados, con movimientos brownianos

Question

Tengo $W_t$ es un movimiento browniano y $$B_t :=W_t-\int_0^t \frac{W_u}{u}du$$ también es un movimiento browniano. Tengo que demostrar que estos dos no están correlacionados.

Sé que para Brownian no correlacionado es equivalente a $E[W_tB_t]=0$ .

Tengo en este momento $$ E\left[W_t^2\right]-E\left[W_t\int_0^t\frac{W_u}{u}du\right]=t-....?$$

Así que no sé cómo calcular el segundo valor esperado, pero sé que debería ser $t$ . ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

La fórmula de Ito da $$ d(B_tW_t)=B_tdW_t+W_tdB_t+dW_tdB_t=(W_t+B_t)dW_t+(1-(W_t^2/t))dt. $$ Por lo tanto, para una martingala local $m_t$ , $$ E(B_tW_t)=Em_t+\int_0^t1-(EW_s^2)/s\,ds. $$ La segunda integral es $0$ queda por ver que $m_t$ es una verdadera martingala. ¿Puedes terminar desde aquí?