El límite es $$\lim_{x \to \infty} \left[ {x^{x+1} \over (x+1)^x} - { (x-1)^x\over x^{x-1}}\right]$$
Experimentalmente, este límite parece converger a ${1 \over e}$ pero no sé cómo solucionarlo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Kristopher Johnson
Puntos
265
Un enfoque bastante mecánico es escribir el límite como $$\lim_{x\to\infty}(f(x)-f(x-1))$$ donde $$f(x)=\frac{x^{x+1}}{(x+1)^x}.$$ Entonces $$\log f(x)=(x+1)\log x - x\log(x+1) = \log x - x \log(1+1/x)$$ y así $$\log f(x)= \log x - 1 + 1/(2x) + O(x^{-2})$$ como $x\to\infty$ (utilizando la serie Maclaurin para $\log(1+t)$ ). Por lo tanto, $$f(x) = (x/e)(1+1/(2x)+O(x^{-2}))=x/e+1/(2e)+O(x^{-1})$$ y así $$f(x-1) =(x-1)/e+1/(2e) +O((x-1)^{-1}).$$ Restando, $$f(x)-f(x-1)= 1/e+O(x^{-1})).$$
David HAust
Puntos
2696
Realización del cambio de variables $\; z = 1/x \;$ y juntando los exponentes similares se obtiene
$\quad\quad\quad\quad \displaystyle \lim_{z\to 0^+} {\frac{(1+z)^{\large -1/z} - (1-z)^{\large 1/z}}{z}}\; = \;\lim_{z\to 0^+} {\frac{f(-z)-f(z)}{z}} $
Aplicando el conocido $\rm exp$ y $\rm log$ serie taylor a $f(z) = (1-z)^{\large 1/z}\; = \; e^{\large {\rm log}(1-z)/z}$
$$f(z) = e^{\large -1-\frac{z}{2}+\;\cdots} = e^{-1} (1 + (-\frac{z}{2} +\;\cdots) + (-\frac{z}{2} +\cdots)^2 + \;\cdots) = \frac{1}{e} - \frac{z}{2e} + O(z^2)$$
$\displaystyle {\rm Therefore}\quad \frac{f(-z)-f(z)}{z}\; = \;\frac{1}{e} + O(z),\ \ $ como confirma Macsyma a continuación:
Brian Deacon
Puntos
4185
HINT Se puede escribir la diferencia como $x \left( y^{-x} - z^x \right)=x\left(1-(yz)^x\right)/y^z$ , donde $y$ y $z$ son funciones racionales de $x$ tal que el valor límite de $y^x$ (y $z^x$ ) es conocido, finito y distinto de cero. Ahora nos centramos en encontrar el límite de $x\left(1-(yz)^x\right)$ .
(Restringir $x$ a los números enteros e invocar el Teorema del Binomio ayuda, pero eso sólo muestra cuál es el límite -- si que existe- tendría que serlo, dejando abierta la posibilidad de que el límite pueda no existir cuando se considera un número no entero $x$ .)
