Una pregunta sobre la causalidad y teoría cuántica de campos de la indebida transformación de Lorentz

Question

Post relacionado con la Causalidad y Teoría Cuántica de campos

En Peskin y Schroeder, del QFT p28, los autores trataron de demostrar la causalidad se conserva en escalar la teoría de campo.

Considere la posibilidad de conmutador $$ [ \phi(x), \phi(y) ] = D(x-y) - D(y-x) \tag{2.53} $$ donde $D(x-y)$ es el de dos puntos de la función de correlación, $$D(x-y):= \langle 0 | \phi(x) \phi(y) | 0 \rangle = \int \frac{d^3 p}{ (2\pi)^3} \frac{1}{ 2E_{\mathbf{p}}} e^{-ip(x-y)}\tag{2.50}$$

P&S argumentó que cada término del lado derecho de (2.53) es invariante Lorentz, ya que $$\int \frac{d^3p }{ (2\pi)^3} \frac{1}{2E_{\mathbf{p}}} = \int \frac{ d^4 p }{ (2\pi)^4} (2\pi) \delta(p^2-m^2)|_{p^0>0} \tag{2.40}$$ es invariante Lorentz.

Ya que existe un continuo de transformación de Lorentz en la spacelike intervalo de $(x-y)^2<0 $ tal que $(x-y) \rightarrow - (x-y) $$D(y-x)=D(x-y)$, (2.53) es igual a cero en el spacelike intervalo. En timelike intervalo, ya que tales continua transformación de Lorentz no existe, (2.53) es distinto de cero en general.

Mi pregunta es, considerar la posibilidad de un no-continua Lorentz transmation en el timelike intervalo, $PT$, es decir, el tiempo de reversión de los tiempos de la paridad de transformación. También puedo dejar $(x-y) \rightarrow - (x-y) $. Por qué (2.53) en el timelike intervalo no es cero?

Supongo que $PT$ va a dejar (2.40) ir a $p^0<0$ rama. Pero no estoy seguro de si se rompe el invariante de Lorentz (2.40) y (2.50).

Answer 1

Estoy cavando este hilo solo para aclarar algunas cosas para los que podría haber una pregunta similar.

Resumen

No podemos usar $\mathcal T$. Como el espacio de cuatro vectores son, esencialmente, como $(0,x,y,z)$, por lo que podemos ignorar el tiempo y hacer rotaciones tridimensionales para obtener $(0,-x,-y,-z)=-(0,x,y,z)$.

A la Valter Moretti

Como Valter Moretti ya se señaló, sólo se puede aplicar a $\mathcal P\mathcal T$ conseguir $(x-y)\to-(x-y)$, debido a $D(x-y)$ no es invariante bajo $\mathcal T$.

Así que el reto es hacer $(x-y)\to-(x-y)$ adecuado orthochronous transformaciones de Lorenz $SO(1,3)_+$$\mathcal P$. Esto sólo es posible por que es como el espacio de cuatro vectores.

El punto sobre el que es como el espacio de cuatro vectores es que hay una Lorentz-marco donde se $t=0$ (boost con $\beta=\frac{t}{|\vec x|^2}$), y en tal marco, la paridad de transformación $$\mathcal P:(0,x',y',z')\to(0,-x',-y',-z')=-(0,x',y',z')$$ se ve como una inversión. Entonces, ¿qué puede hacer por espacio de cuatro vectores es $$ (t,x,y,z) \desbordado{\Lambda} {\,} (0,x',y',z') \desbordado{\mathcal P} {\,}-(0,x',y',z') \desbordado{\Lambda^{-1}} {\,}-(t,x,y,z) $$

La diferencia entre esta transformación y $\mathcal P\mathcal T$, es que el último se lleva a todos de cuatro vectores a sus inversas, mientras que el primero sólo una (tres dimensiones) en el subespacio de las cuatro dimensiones de espacio de Minkowski.

A la Peskin y Schroeder

En realidad se puede lograr el mismo sin el uso de $\mathcal P$, que es sólo con $SO(1,3)_+$ transformaciones. Esto significa que podemos continuamente traer un fijo como el espacio vectorial $p$ a su inverso $-p$. Acabo de hacer los pasos siguientes: \begin{align*} (t,x,y,z) &\overset{R_1}{\to}\left(t,\sqrt{x^2+y^2},0,z\right)\\ &\overset{R_2}{\to}\left(t,\sqrt{x^2+y^2+z^2},0,0\right)\\ &\overset{B\left(\beta=\frac{t}{|\vec x|^2}\right)}{\to}\left(0,\sqrt{x^2+y^2+z^2-t^2},0,0\right)\\ &\overset{R_\pi}{\to}-\left(0,\sqrt{x^2+y^2+z^2-t^2},0,0\right)\\ &\overset{\left(BR_2R_1\right)^{-1}}{\to}-\left(t,x,y,z\right) \end{align*} En vista de esto, uno debe decir que es como el espacio, los vectores son como $(0,x,0,0)$.

Conclusión

Como el espacio de cuatro vectores debe ser pensado como $(0,x,0,0)$, y ya hay tres espacial de las dimensiones, no hay espacio suficiente para girar este vector en cualquier dirección. Esto nos permite invertir como el espacio de los vectores sólo por el uso adecuado ortochronous transformaciones $SO(1,3)_+$.

El tiempo-como de cuatro vectores son como $(t,0,0,0)$. Sólo hay un momento de la dirección, y por lo tanto no hay rotaciones son posibles. Por lo tanto la única manera de llegar a $-t$ es de tiempo de uso de la inversión de las $\mathcal T$.

Corto, porque no es sólo una dimensión de tiempo, pero más de un espacio de dimensiones, podemos invertir como el espacio de cuatro vectores continua de Lorentz-rotaciones, pero no es el momento.

Answer 2

La tesis es verdadera, pero no entiendo bien la supuesta relación con la existencia de "continuo" transformaciones de Lorenz tal que $x-y \mapsto y-x$. El argumento esencialmente depende de la invariancia de la medida en virtud de la orthochronous grupo de Lorentz.

Revisión de cuatro vectores $x-y$ y considerar $$D(x-y):= \int \frac{d \vec{p}}{ (2\pi)^3} \frac{1}{ 2E_{\vec{p}}} e^{-ip(x-y)}\:.$$ Dado que la medida $\frac{d \vec{p}}{ (2\pi)^3} \frac{1}{ 2E_{\vec{p}}}$ $O(3,1)_+$ invariantes para cualquier $\Lambda \in O(3,1)_+$, $$D(x-y)= \int\frac{d \vec{p}}{ (2\pi)^3} \frac{1}{ 2E_{\vec{p}}} e^{-pi(x-y)} = \int \frac{d \vec{\Lambda p}}{ (2\pi)^3} \frac{1}{ 2E_{\vec{\Lambda p}}}e^{-pi(x-y)}= \int \frac{d \vec{p}}{ (2\pi)^3} \frac{1}{ 2E_{\vec{ p}}}e^{-i(\Lambda^{-1} p)(x-y)} = \int \frac{d \vec{p}}{ (2\pi)^3} \frac{1}{ 2E_{\vec{ p}}}e^{-ip (\Lambda (x-y))} = D(\Lambda (x-y))\:.$$ Llegamos a la conclusión de que, por cada cuatro vectores $x-y$ y cada una de las $\Lambda \in O(3,1)_+$, se tiene, $$D(x-y) = D(\Lambda(x-y))\:.$$

Observación. Desde $O(3,1)= O(3,1)_+ \cup TO(3,1)_+$$ O(3,1)_+ \cap TO(3,1)_+= \emptyset$, y se considera la medida es no invariantes bajo $T$, sólo porque de $$\int \frac{d\vec{p} }{ (2\pi)^3} \frac{1}{2E_{\vec{p}}} = \int \frac{ d^4 p }{ (2\pi)^4} (2\pi) \delta(p^2-m^2)|_{p^0>0}\:,$$ llegamos a la conclusión de que

$\Lambda \in O(3,1)$ deja invariante la medida si y sólo si $\Lambda \in O(3,1)_+$.

Aviso de que la medida es $P$-invariante, ya que estamos tratando con $O(3,1)_+$ e no $SO(3,1)_+$. Sin embargo es no $PT$ invariante.

Ahora hay dos posibilidades para $x-y \neq 0$:

(a) $x-y$ es spacelike. En este caso, para que $x-y$ hay $\Lambda \in O(3,1)_+$ tal que $\Lambda (x-y) = y-x$. Tal $\Lambda$ es un espacio $\pi$ rotación alrededor de $x$ $3D$ resto del marco definido por un timelike vector $u$ ortogonal a $x-y$. En este caso llegamos a la conclusión de que $$D(x-y)= D(y-x)\:.$$

(b) $x-y$ no es spacelike. En este caso no hay ninguna $\Lambda \in O(3,1)_+$ tal que $\Lambda(x-y)= y-x$, debido a $y-x$ es pasado se indica si $x-y$ es el futuro dirigido y viceversa y por lo tanto no pueden estar conectados a través de las transformaciones de $O(3,1)_+$, por definición. En este caso se puede concluir que $$D(x-y)= D(y-x)\:.$$