¿Si los subgrupos se conservan bajo preimages, es necesariamente un homomorfismo?

Question

Considere una función $f : G \rightarrow H$, donde $G$ y $H$ son los grupos, tales que la preimagen de cada subgrupo de $H$ es un subgrupo de $G$. ¿Es posible que $f$ podría dejar de ser un homomorfismo? ¿Es posible que $f$ podría ser sobreyectiva, pero dejar de ser un homomorfismo?

Answer 1

Tomar un grupo cíclico de orden $p$ % primer $p>3$y que $f$ fijar la identidad y permutar los elementos de identidad-no. No todos tales mapas son homomorphisms. Hay sólo dos subgrupos, para que se cumpla con la condición de imagen inversa.