Sobre la equivalencia de la norma de la matriz

Question

Para los espacios de dimensión finita, todas las normas son equivalentes, es decir, existen constantes como $A,B$ tal que para todas las matrices del $\mathbf M \in R^{d\times d}$ (Deja que $d$ sea un número entero positivo fijo) tal que

$$A \|\mathbf M\|_2 \leq \|\mathbf M \|_F \leq B\|\mathbf M\|_2\text{,} $$

donde $\|\cdot\|_2$ denota la norma espectral y $\|\cdot\|_F$ (edición: olvidé la segunda parte...) denota la norma de Frobenius.

Mi pregunta es ahora, si usted sabe algo específico sobre $A$ y $B$ por ejemplo si existe una expresión analítica para digamos $B$ .

Answer 1

Ambas normas son invariables si $\mathbf M$ se multiplica a la izquierda o a la derecha por una matriz unitaria. Así podemos formar la descomposición del valor singular de $\mathbf M$ , se eliminan las dos matrices unitarias y se mantiene sólo la parte diagonal. Para una norma espectral dada, la norma de Frobenius más baja se alcanzará si sólo un valor singular tiene este valor y los otros son cero, y la norma de Frobenius más alta se alcanzará si todos los valores singulares tienen este valor; así

$$\|\mathbf M\|_2 \leq \|\mathbf M \|_{\mathrm F} \leq \sqrt d\,\|\mathbf M\|_2\;,$$

es decir, $A=1$ y $B=\sqrt d$ .