¿Dos efectos principales negativos y un efecto de interacción positivo?

Question

Tengo dos efectos principales, V1 y V2. Los efectos de V1 y V2 sobre las variables de respuesta son negativos. Sin embargo, por alguna razón estoy obteniendo un coeficiente positivo para el término de interacción V1*V2. ¿Cómo puedo interpretar esto? ¿Es posible esta situación?

Answer 1

Esta situación es ciertamente posible. Como ejemplo sencillo, considere un experimento en el que se añaden determinados volúmenes de agua caliente (V1) y fría (V2) a una pecera que comienza a la temperatura correcta. La variable de respuesta (V3) es el número de peces que sobreviven al cabo de un día. Intuitivamente, si se añade sólo agua caliente (V1 aumenta), morirán muchos peces (V3 baja). Si se añade sólo agua fría (V2 aumenta), morirán muchos peces (V3 disminuye). Pero si añades tanto agua caliente como fría (tanto V1 como V2 aumentan, por lo que V1*V2 aumenta), los peces estarán bien (V3 se mantiene alto), por lo que la interacción debe contrarrestar los dos efectos principales y ser positiva.

A continuación, hice 18 puntos de datos imitando la situación anterior y ajustar la regresión lineal múltiple en R e incluyó la salida. Puedes ver los dos efectos principales negativos y la interacción positiva en la última línea. Puedes dejar que V1 = Litros de agua caliente, V2 = Litros de agua fría, y V3 = Número de peces vivos después de un día.

   V1 V2  V3
1   0  0 100
2   0  1  90
3   1  0  89
4   1  1  99
5   2  0  79
6   0  2  80
7   2  1  91
8   1  2  92
9   2  2  99
10  3  3 100
11  2  3  88
12  3  2  91
13  0  3  70
14  3  0  69
15  3  3 100
16  4  0  61
17  0  4  60
18  4  2  82

A = matrix(c(0,0,100, 0,1,90, 1,0,89, 1,1,99, 2,0,79, 0,2,80, 2,1,91, 1,2,92, 
2,2,99, 3,3,100, 2,3,88, 3,2,91, 0,3,70, 3,0,69, 3,3,100, 4,0,61, 0,4,60, 
4,2, 82), byrow=T, ncol=3)

A = as.data.frame(A)

summary(lm(V3 ~ V1 + V2 + V1:V2 , data=A))

Coefficients:
(Intercept)           V1           V2        V1:V2  
    103.568      -10.853      -10.214        6.563

Answer 2

Una forma alternativa de ver la situación al brillante ejemplo de @underminer es observar que en la regresión por mínimos cuadrados, sus valores ajustados satisfacen las "restricciones de correlación"

$$\sum_{ i=1}^nx_{ik}\hat{y}_i=\sum_{ i=1}^nx_{ik}y_i$$

Donde $x_{ik}$ es el valor de la kª variable (independiente/explicativa/predictiva/etc.) en la iª observación. Tenga en cuenta que el lado derecho no depende de las demás variables del modelo. Así que si "y" generalmente aumenta/disminuye con la k-ésima variable, los valores ajustados también lo harán. Esto es fácil de ver a través de las betas cuando sólo hay efectos principales, pero es confuso cuando hay interacciones.

Obsérvese cómo las interacciones generalmente "arruinan" la interpretación típica de las betas como "efecto sobre la respuesta al aumentar esa variable en una unidad con todas las demás variables constantes ". Esta es una interpretación inútil cuando hay interacciones, ya que sabemos que la variación de una sola variable alterará los valores de los términos de interacción, así como los efectos principales. En el caso más sencillo de su ejemplo, se puede afirmar que el cambio de $V1$ por uno alterará el valor ajustado por

$$\beta_1 + V2\beta_{1*2}$$

Está claro que sólo con mirar $\beta_1$ no le dará el "efecto" adecuado de $V1$ en la respuesta.