Área de intersección entre 4 círculos centrados en los vértices de un cuadrado

Question

Los centros de cuatro círculos están en los vértices de un cuadrado de longitud lateral 100m. Cada círculo tiene un radio de 100m. ¿Cuál es el área de su intersección?

Answer 1

Creo que esta cuestión es mucho más fácil si podemos conocer los cuatro puntos de intersección. Y podemos hacerlo mediante la observación de los triángulos equiláteros si unimos las líneas entre los centros de los círculos.

Si mis cálculos son correctos, C $(\frac{\sqrt3}{2}r,\frac{1}{2}r)$ , B $(\frac{1}{2}r,\frac{\sqrt3}{2}r)$ y se pueden calcular los que están más a la izquierda y más abajo debido a la simetría con respecto al centro $(\frac{1}{2}r,\frac{1}{2}r)$ pero ni siquiera es necesario.

Una cuarta parte del área (supongamos el cuarto superior derecho) puede representarse como:

$$\frac{S}{4} = \pi r^2\times\frac{30}{360}-\frac{(\frac{\sqrt3}{2}r-\frac{1}{2}r)\frac{1}{2}r}{2}\times 2$$

Simplificado:

$$S=\frac{\pi}{3}r^2-(\sqrt3-1)r^2$$

El gráfico y la divertidísima fuente :) ¡Mira! ¡Esto no tiene integración!

Answer 2

El punto de intersección en el este es donde $$x^2 + y^2 = 1$$ y $y = \frac{1}{2}$ Así que $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Así que por simetría la cantidad que deseas es $$ 400 \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^2} - \frac{1}{2} dx $$ que según Wolfram Alpha es $$ \frac{100\pi}{3} - 100(\sqrt{3} - 1). $$

Answer 3

Definamos algunos puntos: (Suponiendo un radio de 1)

O = (0,0)
A = (0.5, 0.5)
B = (cos(30°), sin(30°))
C = (cos(60°), sin(60°))

El "triángulo" redondeado ABC es una cuarta parte del área que se busca.

El triángulo redondeado OBC es un sector con radio 1 y ángulo 30°, por lo que su área es 1/12 de un disco, $\pi/12$ .

De este sector restamos los dos triángulos OBA y OAC que son congruentes y tienen una base de cos(30°) - 0,5 y una altura de 0,5, por lo que su área total es 0,5*(cos(30°)-0,5)

el área de ABC es entonces $$\pi/12 - (\sqrt{3}/2 - 1/2)/2$$ y la superficie total cuatro veces más: $$\pi/3 - \sqrt{3} + 1$$

Answer 4

Suponiendo que los radios son 100 y los centros descansan en otros dos círculos como en el diagrama.

Si colocara un cuadrado dentro de la parte negra con las mismas esquinas, la solución sería el área de ese cuadrado más 4 piezas curvas.

El área de las piezas curvas se puede hallar observando que consiste en una duodécima parte de la diferencia de área entre un círculo y un dodecágono regular. Esa área es $c=\frac{10000 \pi-30000}{12}$ .

El lado del cuadrado es la longitud del lado del dodecágono por lo que $s=50\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$

Así que la zona es $$s^2+4c = 5000(\sqrt{3}-1)^2+10000\frac{\pi-3}{3}\approx 3151$$