Martingalas estrictamente positivas

Question

¿Tiene la siguiente propiedad para martingalas? Dado una martingala continua $(X_t)_{t\leq T}$ que es casi con toda seguridad estrictamente positivo al tiempo T, es decir, $\mathbb{P}(X_T >0)=1$, tenemos $P(X_t > 0 \,\, \text{for all} \,\, t \in [0,T])=1$.

Trató de toquetear el teorema de paro opcional y detener diferentes tiempos como $\inf\{t\leq T\, |\, X_t = 0\} \wedge T$, pero no han conseguido todavía.

Answer 1

Como te propongas, que $\tau = \inf\{t : X_t = 0\} \wedge T$ y $A = \{X_t > 0\,\forall t \in [0,T]\}$. Ya que $\tau$ es un tiempo de parada limitada, parada opcional tenemos $E[X_0] = E[X_\tau] = E[X_T]$. Por otra parte, desde $X_T > 0$, tenemos $X_\tau \le X_T$ casi con toda seguridad. Sigue casi con toda seguridad que $X_\tau = X_T$ ($X_T - X_\tau$ es una variable aleatoria no negativa con expectativa cero). En el evento $A^c$ tenemos $0 = X_\tau < X_T$, por lo que debe ser que $P(A) = 1$.