Interpretación geométrica de integrales de camino complejo

Question

Digamos que queremos hacer sentido de la integración de una función de $f: \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ sobre algunos path $\gamma$. Puedo imaginar dos formas razonables de hacerlo. Primero, no es el camino que todos sabemos y el amor: $$\int_\gamma f := \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt$$ where $\gamma(t)$ parametrizes $\gamma$.

Alternativamente, podríamos decir, "ya Tenemos una buena formulación de integrales de línea para las rutas en $\mathbb{R}^n$, e $\mathbb{C}$ es esencialmente $\mathbb{R}^2$." Así que decidimos que vamos a definir la ruta integral como este: $$\int_\gamma f := \int_a^b f(\gamma(t))|\gamma'(t)| \,dt$$ like we might do for functions $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$. This second definition has the nice property that $\int_\gamma f = \int_\gamma \text{Re}f + i \int_\gamma \text{Im}f.$

Pero, por supuesto, no usamos la segunda formulación. Nos quedamos con la primera, y hay algunos buenos motivos utilitarios para hacerlo (de Cauchy de la integral de la fórmula, etc.). Pero hay más natural (geométricas, preferiblemente) razones para el uso de la primera definición anterior?

EJEMPLO

Para un ejemplo sencillo, supongamos que $f(z) = i$ y quiero integrar a $f$ a lo largo de $\gamma$, la línea de$0$$i$. Voy a elegir a la parametrización de la $\gamma(t) = it$, $t \in [0,1]$. A continuación,$\gamma'(t) = i$, y, el uso de la primera definición para nuestro camino de la integral, obtenemos: $$\int_\gamma f = \int_0^1 i \gamma'(t) \,dt = \int_0^1 i^2\, dt = -1.$$

Mientras tanto, en el caprichoso mundo donde elegimos la segunda formulación para nuestro camino integrales, tenemos: $$\int_\gamma f = \int_0^1 i |\gamma'(t)| \,dt = i.$$ In essence, this second computation didn't care about the complex structure on $f$'s domain. As far as this method was concerned, we integrated a constant function over a path of measure 1, so naturally we get that constant as our answer. On the other hand, in the first computation, multiplying by $\gamma'$ carries some additional complex structure. It knows the difference between integrating along lines from $0$ to $yo$ or from $0$ to $1$, por ejemplo.

De forma heurística, parece que la primera definición permite que las estructuras complejas en $f$'s el dominio y el rango de interactuar (a través de la $\gamma'$ plazo), mientras que la segunda definición descuida cualquier estructura compleja en el dominio de $f$ y sólo se ocupa de estiramiento/reorientación causado por nuestra elección de parametrización. Pero, ¿por qué, a priori, estamos interesados en permitir a $f$'s complejo dominio y el rango de interactuar de esta manera (si es que aún la manera correcta de framing)? ¿Esta "interacción" tiene una interpretación geométrica? Y hay una buena manera de interpretar la integral de línea que hace que la primera definición, obviamente, la opción más natural, o simplemente nos vaya con ella porque es útil?

Gracias por leer!

Answer 1

Pensé acerca de esto más de una vez y se acercó con una "respuesta" de las clases.

Notación: Dado $z=a+ib$$w = c+id$$\mathbb{C}$, voy a escribir $z \cdot w$ para el producto escalar Euclídeo $ac + bd$. La multiplicación ordinaria de los números complejos se denota por yuxtaposición.

La observación fundamental es que, dado $z,w \in \mathbb{C}$, la cantidad de $\overline z w$ está relacionado con el producto escalar de la siguiente manera: \begin{align*} \mathrm{Re}(\overline z w) = z \cdot w && \mathrm{Im}(\overline z w) = (iz) \cdot w. \end{align*} Tenga en cuenta que $iz$, geométricamente hablando, es $z$ girado hacia la izquierda 90 grados.

Ahora, en lugar de interpretar $\int_\gamma f$, vamos a interpretar $I = \int_\gamma \overline f$. Como usted señaló, $$ I= \int_0^1 \overline{f(\gamma(t))} \gamma'(t) \ dt,$$ y así \begin{align*} \mathrm{Re}(I) = \int_0^1 f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) \ dt && \mathrm{Im}(I) = \int_0^1 (if(\gamma(t))) \cdot \gamma'(t) \ dt \end{align*} o, en la notación de las integrales de línea de campos vectoriales, \begin{align*} \mathrm{Re}(I) = \int_\gamma f(z) \cdot dz && \mathrm{Im}(I) = \int_\gamma (if(z)) \cdot dz. \end{align*} Así, por ejemplo, el pensamiento de $f$ como un campo de fuerza,

• la parte real de la $\int_\gamma \overline f$ es el trabajo hecho viajar a lo largo de $\gamma$ a través de la fuerza de campo $f$,
• la parte imaginaria de $\int_\gamma \overline f$ es el trabajo hecho viajar a lo largo de $\gamma$ a través de la fuerza de campo $if$.

Nota: $if$ es sólo el campo de fuerza $f$ girado hacia la izquierda 90 grados.

Espero que esto ayude...

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Añadido: yo quisiera añadir un simple ejemplo.

Poner $f(z) = \overline{1/z}$. Como usted sin duda sabe, si el contorno de la $\gamma$ es cerrado y evita el origen, $\int_\gamma \overline f = \int_\gamma \frac{1}{z}$ es igual a $2 \pi i$ los tiempos de la liquidación número de $\gamma$.

En este ejemplo, el campo de vectores $f(z) = \overline{1/z}$ es el gradiente del potencial escalar $V(x,y) = \frac{1}{2} \log (x^2+y^2)$, por lo que no hay trabajo que se realiza va alrededor de un contorno en este campo. El campo $f$ tiene este aspecto:

Por otro lado, los 90 grados de rotación de campo $if$ tiene este aspecto:

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Añadido: acabo de enterarme de que el nombre correcto para esta interpretación. El complejo conjugado $\overline f$, visto como un campo de vectores, es llamado el "Poli campo de vector de $f$". Como ya he mencionado, la parte real de la $\int_\gamma f$ es el trabajo hecho por el Polya vector vield sobre una partícula a medida que viaja a lo largo de la curva de $\gamma$. Una forma alternativa de pensar de la parte imaginaria de $\int_\gamma f$ es como el flujo de la Polya campo vectorial a través de la orientada a la curva de $\gamma$. Estas ideas se explican en el Capítulo 11 de Tristán Needham del libro "Visual Análisis Complejo".

Answer 2

Como comenté hace un par de días, creo que muchas de las respuestas a esta pregunta fueron ya dadas por la persona que la pidió. Sin embargo, se me ocurrió que hay uno muy simple hecho de que pueden ser relevantes para esta discusión, y no se ha mencionado todavía.

Como todos sabemos, si $F,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ son dos funciones reales tales que a $F'=f$, luego $$\int_a^bfdx=F(b)-F(a).$$ This is extended, of course, to functions from a higher dimensional Euclidean space to $\mathbb{R}$ by using the gradient: $$\int_\gamma\nabla f\cdot d\gamma=f(\gamma(b))-f(\gamma(a)),$$ or alternatively, without using any metric structure,$$\int_\gamma df(\partial/\partial\gamma)=f(\gamma(b))-f(\gamma(a)),$$where $f$ is $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ and $\gamma$ es derivable camino.

Del mismo modo, si $F:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es holomorphic con derivados $f$, e $\gamma:[a,b]:\to\mathbb{C}$, $$\int_\gamma fd\gamma=F(\gamma(b))-F(\gamma(a)).$ $ La otra definición (que ignora la compleja estructura del dominio, como se ha dicho) no cumple esta última ecuación, y de esta manera carece de una propiedad esencial de la integración.