Que $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es una función tal que $f'(x)$ es continua y $|f'(x)|\le|f(x)|$ % todo $x\in\mathbb{R}$

Question

Que $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es una función tal que $f'(x)$ es continua y $|f'(x)|\le|f(x)|$ % todos $x\in\mathbb{R}$. Si $f(0)=0$, encuentra el valor máximo de $f(5)$.

$f'(x)=f(x)$ es verdad $f(x)=ke^x$.

$f(x)=0$ satisface la condición. Así $f(5)=0$ que también es la respuesta correcta. ¿Pero hay ningún método que no sea de sustitución?

Answer 1

Eligió $N\in\mathbb N$ arbitrariamente. A continuación, $f$ es continua en a $[0,N]$ y por lo tanto alcanza su máximo y el mínimo, por lo $\exists M>0:|f(x)|\leq M,\,\forall x\in [0,N]$.

Para cada una de las $x\in[0,N]$ $$f(x)=\int\limits_{0}^{x}{f'(t)dt}\Rightarrow |f(x)|\leq \int\limits_{0}^{x}{|f(t)|dt}\leq \int\limits_{0}^{x}{Mdt}=Mx$$ Tomar la desigualdad $|f(t)|\leq Mt,\forall t\in [0,N]$, e integrarlos de nuevo en $[0,x]$ arbitrarias $x\in [0,N]$ para obtener $$|f(x)|\leq \int\limits_{0}^{x}{|f(t)|dt}\leq \int\limits_{0}^{x}{Mtdt}=\frac{Mx^2}{2}$$ y continuar de la misma manera. Usted obtener ese $|f(x)|\leq \frac{Mx^n}{n!},\forall n\in\mathbb N$, lo que significa que $|f(x)|\equiv 0,\,\forall x\in [0,N]$ porque $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^n}{n!}\to 0,\,\forall x\in\mathbb R$. Debido a $N$ fue arbitrariamente grande de ello se sigue que $f(x)\equiv 0,\,\forall x\in \mathbb R$ y esta es la única función de la satisfacción de las condiciones de la pregunta $\Rightarrow $ el valor máximo en $x=5$ es el único valor posible,$0$.

Answer 2

La desigualdad indica $$ \left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log\left|f (x) \right|\,\right|\le1 $$ si $\log\left|f(5)\right|=a$ es finito, entonces $\log\left|f(0)\right|\ge a-5$. Desde $f(0)=0$, debemos tener $f(5)=0$.