Factorizar polinomios con el primer discriminante

Question

Yo estaba muy ocupado haciendo una tarea de ejercicios en los que he tenido para calcular el discriminante $\Delta(f)$ del polinomio

$$f(X) = X^4+X^2+X+1$$ que resultó ser el primer $257$. Posteriormente, se me pidió que muestran que $f$ es irreducible sobre $\Bbb Q[X]$ (sencillo hacer directamente desde sólo lineal y cuadrática factores necesitan ser considerados).

Sin embargo, también tenemos la identidad general: $g \mid f \implies \Delta(g) \mid \Delta(f)$, de modo que cualquier factorización de $f$ tiene un factor discriminante $1$. Yo estaba tratando de un par de valores y llegó a la conjetura de que la única irreductible monic polinomios en $\Bbb Z[X]$ tener discriminante $1$ son lineales monic polinomios (es decir, los ejemplos triviales).

Yo, no obstante, fue incapaz de probar o refutar esta hipótesis, o encontrar cualquier información sobre ella. Me gustaría saber si se mantiene; si es posible con la prueba/contraejemplo y/o referencias. Gracias de antemano.

Answer 1

Como Lukas Geyer dice, su conjetura no es cierto para reducible polinomios.

Sin embargo, es cierto que, si $f(x)$ es una irreductible monic polinomio con discriminante $\pm 1$, $f(x) = x + c$ para algunas constantes $c$. Este argumento se utiliza nociones de la teoría algebraica de números, y en particular la relación entre la ramificación y discriminantes; ver esta propaganda por nuestra propia KCd. Si usted no está listo para leer este, sin embargo, consideran que es un incentivo para aprender la teoría algebraica de números!

Prueba: Si $\Delta(f) = \pm 1$, $\mathbb{Z}[x]/f(x)$ es el anillo de enteros en el campo de número de $\mathbb{Q}[x]/f(x)$, y este campo número de unramified $\mathbb{Q}$. La única unramified extensión de $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$ sí, por lo $f$ tiene el grado $1$. $\square$

Estamos usando ese $f$ es irreductible al saber que $\mathbb{Q}(x)/f(x)$ es un campo.