Vamos a $E$ ser un espacio de Banach y $F$ un subespacio cerrado. Es bien sabido que el cociente de espacio $E/F$ es también un espacio de Banach con respecto a la norma $$ \left\Vert x+F\right\Vert_{E/F}=\inf\{\left\Vert y\right\Vert_E\mid y\x+F\}. $$ Por desgracia, en un conjunto de notas de la conferencia en (Mentira) grupo de representaciones (material para nuestro grupo de estudio), el autor utilizó accidentalmente aquí $\min$ en vez de $\inf$. Probablemente en su mayoría inofensivas booboo, porque en ese momento era sólo necesario para obtener una estructura de espacio de Banach en el cociente, y probablemente vamos a concentrar en espacios de Hilbert de todos modos, donde el problema no se plantea.
Es decir, desde Rudin del Análisis Funcional no pude encontrar una prueba de que el mínimo debería siempre ser alcanzado. Excepto en el caso de un espacio de Hilbert, donde la aplicación de un paralelogramo de la ley (la suma de los cuadrados de las normas de las dos diagonales de un paralelogramo es igual a la de los cuatro lados) que nos permite encontrar una secuencia de Cauchy entre una secuencia de vectores de $(y_n)\subconjunto x+F$ que $$\lim_{n\to\infty}\left\Vert y_n\right\Vert_E=\left\Vert x+F\right\Vert_{E/F}.$$
Pero de todos modos, la sospecha se dejó que el infimum está ahí por una razón (aparte de muy bien lo que nos permite barrer este detalle debajo de la alfombra en que momento del desarrollo de la teoría), por lo que en el interés de servir a nuestro grupo de estudio tuve que venir para arriba con un ejemplo específico, donde el mínimo no alcanzado. Han pasado 25 años desde que yo realmente tenía que ejercer el espacio de Banach de la glándula en el cerebro, por lo que se ha encogido al tamaño de una pasa de uva. Buscar en este sitio de ayuda, porque me encontré con esta pregunta. No tenemos $E=C([0,1])$, el espacio de funciones reales continuas en $[0,1]$ equipado con el sup-norma. Si denotamos por $\Lambda$ el continuo funcional $$ \Lambda: E\to\mathbb{R},f\mapsto\int_0^{1/2}f\int_{1/2}^1f $$ y dejar que $F=\ker\Lambda$, entonces la respuesta a la pregunta vinculada demuestra que no hay un mínimo sup-norma de la función en el coset $\Lambda^{-1}(1)$.
Así que tengo un (contador)ejemplo, y la pregunta principal que ha evolucionado a:
Cuando se puede usar el mínimo en lugar de infimum en la definición del cociente del espacio de norma?
Mi pensamiento:
- A mí me parece que la respuesta es afirmativa, si $F$ tiene un complemento, es decir, podemos escribir $E=F\oplus F'$ como una suma directa de dos subespacios cerrados tales que la norma en $E$ es equivalente a la suma de las normas sobre $F$ y $F'$-componentes.
- Pero el primer punto también se plantea la sospecha de que la pregunta puede ser un poco mal definidos (e interesante) en el sentido de que la respuesta podría depender de la elección de la norma de $\left\Vert\cdot\right\Vert_E$ entre el conjunto de equivalente de las normas. Sin embargo, si nosotros, por ejemplo, perturbar el sup-norma de $C([0,1])$ en el ejemplo anterior mediante la multiplicación de las funciones con un fijo positiva definida de la función antes de tomar el sup-norma, el argumento parece para sobrevivir, por lo que puede ser la sustitución de la norma con un equivalente es irrelevante?
Así que, para satisfacer mi curiosidad también doy la bienvenida a "su ejemplo favorito" (uno de ellos con una finito-dimensional $F$ sería bueno ver), en el que es absolutamente necesario el infimum aquí. Bits acerca de cualquier suficientes o condiciones necesarias para el mínimo para que sea suficiente, o (como un último recurso :-) punteros de la literatura relevante son, por supuesto, también se aprecian.
