Deje $X$ ser una curva sobre un campo de número de $K$ de género $g\geq 2$. ¿Existe un entero $d$ tal que $X$ tiene un número infinito de funciones racionales (es decir, finito morfismos $f:X\to \mathbf{P}^1_K$) de grado $d$?
Si sí, podemos elegir/enlazado $d$ en términos de$K$$g$?
Nota. Esta no es la misma pregunta que en el título. La respuesta a la pregunta del título es en realidad negativa, como en el ejemplo de abajo muestra para $d=2$.
Nota: quiero funciones racionales para ser realmente diferentes. Así que nos mod a cabo por la acción de la automorphism grupo de $\mathbf{P}^1_K$. Es decir, $f$ $\sigma\circ f$ son los mismos si $\sigma$ es un automorphism de $\mathbf{P}^1_K$.
Ejemplo 1. No podemos tener $d=2$. Hyperelliptic mapas son únicos.
Pregunta 2. ¿Cómo funciona la respuesta a esta pregunta de cambiar si queremos reemplazar $K$ algebraicamente cerrado campo de $k$?
Ejemplo 2. Deje $X$ en general la curva de extraño género $g\geq 3$ más de una algebraicamente cerrado de campo. Entonces, se tiene un número infinito de (muy diferentes) gonal morfismos. De hecho, esta familia es unidimensional.
Idea. Creo que la pregunta puede ser reducido a una pregunta sobre la $\mathbf{P}^1_K$. De hecho, es suficiente para mostrar que hay infinitamente muchos (muy diferentes) funciones racionales en $\mathbf{P}^1_K$ de algún grado, decir $3$. De hecho, una vez que sabes esto, componiendo algunos de morfismos $f:X\to \mathbf{P}^1_K$ con una función racional da un número infinito de funciones racionales de grado $d \leq 3 \deg f$. El único problema es encontrar (de manera controlada) una de morfismos $f:X\to \mathbf{P}^1_K$. Este es un problema difícil, pero vamos a permitir finito de cambio de base si es necesario...
