¿Qué son realmente las ecuaciones diofantinas?

Question

A veces, cuando quieres resolver una ecuación, sólo tienes que usar el álgebra y reordenarla y ya está. Pero a veces ninguna cantidad de álgebra puede probar la ecuación, y entonces usted necesita una idea, aquí es lo que quiero decir con la idea:

• paridad (o aritmética modular para números mayores)
• enteros complejos.
• el número irracional
• una función especial
• una extraña curva

Muchas ecuaciones pueden resultar imposibles si el lado izquierdo es impar y el derecho es par, a veces tenía un par de ecuaciones que resultaban fáciles si las leías como una ecuación real e imaginaria, leí que para resolver la ecuación de Pell necesitabas una fracción cercana a las raíces cuadradas de $d$ y resolver $ax + by = 1$ tienes que utilizar la función del máximo común divisor. Para resolver el último teorema de Fermat necesitas curvas elípticas.

Tengo dos preguntas, ¿Dónde puedo encontrar más ejemplos de esto (una ecuación y luego lo que realmente es - lo que le permite demostrar)? y ¿cómo se puede averiguar lo que está detrás de la ecuación aka. lo que es la idea (porque sólo veo el + - * ^ y variables ..)?

Answer 1

Parece que lo que quieres decir es cómo puedo encontrar la motivación para estudiar una ecuación diofantina mirando la ecuación. En el caso del Último Teorema de Fermat, es una ecuación bastante natural para estudiar. No estoy de acuerdo en que se trate realmente de curvas elípticas, sino más bien de los números naturales. Sucede que las curvas elípticas dieron las herramientas para resolver el problema. Del mismo modo, para la ecuación de Pell, basta con preguntarse por las soluciones de $x^2-2y^2=1$ encontrar varios a mano, y encontrar la recurrencia que los genera sin saber de fracciones continuas y la expansión de $\sqrt{2}$ . Conocer las fracciones continuas y los anillos en los que se añade una raíz cuadrada de algún elemento sugieren nuevas áreas de estudio, lo que ha sido bastante productivo. Pero no sé cómo discernirlo a partir de la propia ecuación.

Answer 2

Yo interpreto la pregunta como "cómo sé atacar un problema diofantino". De hecho, la pregunta no es fácil y es esta habilidad la que perfeccionan los teóricos de números algebraicos. Además, los métodos que has enumerado son los de hace unos 300 años. Hoy en día, existen técnicas más sofisticadas y más generales. Si te interesa más la motivación, deberías echar un vistazo a esta pregunta del modus operandi que en cierto modo va en tu dirección.

Antes de empezar a enumerar los métodos modernos, permíteme abordar directamente tus preguntas "¿qué hay detrás de una ecuación determinada?" y "¿cómo sé qué probar?", empezando por esta última: no lo sabes. Después de un tiempo se desarrolla cierta intuición, pero aún así, la forma básica de encontrar un enfoque que funcione es probarlos todos en el orden de probabilidad de éxito decreciente. Es esta probabilidad la que puedes estimar cada vez mejor, a medida que te vuelves más competente, pero nunca lo sabrás con certeza, hasta que pruebes un enfoque. En cuanto a la pregunta "¿qué hay detrás de una ecuación diofantina?", actualmente no hay una buena manera de dar sentido a esta pregunta. Algunas personas verán la ecuación como una descripción de un objeto geométrico (véase el último párrafo de esta entrada), otras la mirarán desde un "ángulo modular" (véase el penúltimo párrafo). Pero al fin y al cabo, cuando te interesan las soluciones integrales o racionales, la ecuación es sólo eso: una ecuación diofantina. Si hay que categorizar las ecuaciones, lo más sensato es categorizarlas según la geometría y la topología del conjunto de soluciones complejas (véase el último párrafo).

Hay dos o tres temas bastante amplios en la investigación moderna, donde moderno significa todo lo de los últimos 150 años-impar.

En primer lugar, un método clásico que has insinuado pero que tiene mucho más potencial es que a menudo, para entender las soluciones enteras, te ves obligado a trabajar en un anillo más grande. Has enumerado las raíces cuadradas de los enteros, pero la técnica es más general que eso. Para dominarla, necesitas aprender algo de teoría algebraica clásica de los números, ya que se desarrolló a finales del siglo XIX - principios del XX y ahí es también donde te recomendaría empezar a leer. Echa un vistazo a un libro de introducción a la teoría algebraica de números, como el libro de Ian Stewart que a mí, personalmente, me gusta bastante.

Otro tema amplio es el que utilizaron con éxito Ribet, Frey, Wiles y varios otros a lo largo del camino para demostrar el Último Teorema de Fermat. Hoy en día se engloba bajo el misterioso término de "modularidad". Para empezar a entender de qué se trata, primero hay que aprender sobre las formas modulares y las curvas elípticas. La idea básica es que la conjetura Shimura-Tanyiama-Weil, que fue el resultado real que demostró Wiles, relaciona dos objetos aparentemente no relacionados: las curvas elípticas racionales y las formas modulares. Esto es muy útil, porque las formas modulares tienen un comportamiento muy bueno. La idea de la "modularidad" para resolver las ecuaciones diofantinas consiste entonces en construir una curva elíptica a partir de una supuesta solución de la ecuación dada que tenga propiedades tan extrañas que no pueda ser modular. Eso contradiría el teorema de Wiles, por lo que no puede haber tal solución. Los lugares para empezar a leer sobre las curvas elípticas y las formas modulares son (después de haber leído completamente un libro de introducción a la teoría algebraica de los números y haber hecho todos los ejercicios) Silverman - el clásico sobre curvas elípticas, y quizás el libro de Diamond y Schurman para las formas modulares.

Por último, un tema muy amplio es que, a menudo, la geometría o la topología de las soluciones complejas de la ecuación controla su comportamiento aritmético (es decir, diofántico). Es difícil señalar un lugar donde aprender sobre esto, pero las curvas elípticas son definitivamente el punto de partida. Creo que, una vez que hayas leído un libro sobre teoría algebraica de números y otro sobre curvas elípticas, deberías volver aquí y plantear de nuevo esta pregunta con tu nueva formación.