Bueno, aquí es algo que me parece vale la pena publicar.
Decimos que un espacio de Banach es un espacio soñado si cada operador lineal en una normativa espacio es continuo, en particular cada funcional lineal de un sueño espacio es continuo.
Esto significa que si hacemos el cociente de un espacio soñado por una densa subespacio del espacio resultante no tiene trivial funcionales. Quizás el mejor ejemplo de sueño espacios en Solovay del modelo donde cada espacio de Banach es un espacio soñado. Esta propiedad se sigue de la afirmación "Todo conjunto de números reales que tiene la propiedad de Baire". De hecho, algo más fuerte es cierto en estos modelos, cada Baire-medible homomorphism entre grupos polacos es continua. En el modelo como $C(\Bbb N)/C_c(\Bbb N)$ no tiene ningún lineal funcional.
Pero, ¿qué otros modelos hay para el sueño de los espacios? En $\sf ZFC$ el único sueño espacios son limitados espacios dimensionales, pero resulta que en $\sf ZF$ podemos probar lo siguiente:
Teorema (Brunner [1]). Una normativa espacio de $X$ es un espacio soñado con una base de Hamel $H$, si y sólo si $X$ es isomorfo con $\ell_1(D)$ algunas $D$ con un Dedekind finito poder establecer $\mathcal P(D)$.
(Recordemos que $D$ es Dedekind-finito si y sólo si no tiene un countably subconjunto infinito. El axioma de contables elección implica que cada Dedekind-conjunto finito es finito, pero con su negación podemos encontrar infinitas Dedekind-finito de conjuntos.)
En primer lugar vemos que cualquier conjunto $D$ con un Dedekind-poder finito conjunto no puede ser asignada a $\omega$ (esto es un teorema por Kuratowski), por lo que cualquier mapa en $\Bbb R$ debe ser con una gama limitada (de lo contrario, podemos suponer que es ilimitado, y el mapa cada punto de su parte entera). Voy a adoptar la [posiblemente contradictorias] la terminología fuertemente Dedekind finito o, sDF para este tipo de series.
Esta es consistentemente ocurre cuando la elección falla, por ejemplo, amorfo conjuntos de sDF. Pero también linealmente ordenado conjuntos pueden ser sDF. De hecho, si uno permite que los átomos (no juegos) de existir, entonces uno puede construir Mostowski del linealmente ordenado modelo en el que la ultrafilter lema tiene y hay Dedekind-finito de conjuntos que pueden ser densamente ordenadas (y la topología en realidad es localmente compacto y fuertemente conectada). No estoy seguro acerca de esto, sin átomos, pero se muestra bastante.
Volviendo a Brunner del teorema, si $D$ es sDF cada elemento en $\ell_1(D)$ debe ser una función que es cero en casi todas partes y, de hecho, $\{e_d\mid d\in D\}$ es una base de Hamel (así como una base de Schauder) por $\ell_1(D)$. Tenemos que $\ell_1(D)=C_c(D)$. Por lo tanto, no están claramente no distinto de cero lineal funcionales en el cociente, que es trivial. Esto se ajusta a otra prueba de Brunner del papel:
Lema (Brunner [1]). Si $X$ es un espacio de Banach con una Schauderian Hamel base $H$, $[H]^{<\omega}$ es Dedekind finito.
Donde Schauderian Hamel base significa que el coeficiente funcionales son continuos, y $[H]^{<\omega}$ indica todos los subconjuntos finitos de $H$.
Girando la cabeza a $C(D)$ tenemos que en el hecho de que cada función es limitada, por lo que, de hecho, este es $\ell_\infty(D)$ por similar argumento como antes. Para ver que esto es un espacio de Banach (que ahora es mucho menos trivial de lo que antes) tomamos nota de lo siguiente:
Lema. Si $D$ es sDF, a continuación, $\ell_\infty(D)$ es un espacio de Banach.
Prueba. Supongamos que $r_n\in\ell_\infty(D)$ es una secuencia de funciones de$D$$\Bbb R$. Para cada $d\in D$ deje $R_d\colon\omega\to\Bbb R$ definido por $R_d(n)=r_n(d)$. La función de $d\mapsto R_d$ elementos de mapas de $d$ a $\Bbb R^\omega$, un conjunto de cardinalidad $\frak c$, por lo que esta función tiene una gama limitada. Es decir, hay sólo un número finito de diferentes $R_d$ funciones. Deje $d,e\in D$ tal que $R_e=R_d$, entonces para cada a $n\in\omega$ tenemos $r_n(e)=r_n(d)$. Por lo tanto, no existe una partición de $D$ a $D_1,\ldots, D_k$ tal que para todos los $n$ y $i$, $r_n$ es constante en $D_i$. En particular, esto muestra que, dada una secuencia hay un uniforme límite en el tamaño de sus rangos.
Ahora supongamos que $r_n$ es una secuencia de Cauchy, para cada $d$ deje $r(d)=\lim_{n\to\infty} r_n(d)$. Desde que trabajamos con el $\max$ norma esta es una función definida, y es claro que si $D_1,\ldots,D_k$ es la citada partición de $D$ $r$ es constante en $D_i$ todos los $i<k$. Por lo tanto, $r$ es un bien definido elemento de $C(D)$, y el límite de $r_n$ como quería. $\square$
Observamos dos peculiares comportamientos de aquí. La primera es que el $C_c(D)$ se $\ell_p(D)$ por cada $p<\infty$; y la segunda es que el $C(D)$ $\ell_\infty(D)$ y pointwise convergencia es la misma de la convergencia uniforme.
El siguiente paso sería probar que cada funcional lineal viene de $\ell_1$, que en el lapso de la evaluación funcionales. Podría ser posible muestran que la primera de todas continua funcional es, en el lapso de evaluación funcionales, y luego que cada funcional es continua. Sin embargo después de unos días de reflexión todavía no tengo nada que mostrar en el presente caso.
Tenemos que asumir que la de Hahn-Banach teorema de la falla, porque es coherente tener $\ell_\infty(D)$, incluso cuando se $D$ es sDF. Pero no estoy seguro de cómo proceder a partir de este punto ahora mismo.
La elección de los principios podría prevenir esto? Así, el axioma de contables elección implica que cada Dedekind-conjunto finito debe ser finito, por lo que todo lo anterior se convierte en trivial. Aunque como ya he comentado, hay modelos de $\sf ZF+DC+BP$ que $C(\Bbb N)/C_c(\Bbb N)$ debe tener un trivial dual, aunque no estoy seguro de si la negación de la $\sf BP$ es suficiente para generar un funcional, algunas de forma débil de Hahn-Banach es ciertamente suficiente (recordemos que de Hahn-Banach en sí es más débil que el de ultrafilter lema).
Tenga en cuenta que es posible tener un conjunto $D$ que es sDF y todavía han de Hahn-Banach para $\ell_\infty(D)$. No estoy seguro de cómo directa obligando a la construcción iba a ir, pero apenas como fácilmente se puede observar que Mostowski ordenado por el modelo de $\sf ZFA$ cumple que el conjunto de los átomos es sDF y el Booleano primer ideal teorema se cumple, de Hahn-Banach tiene. A continuación, utilice el Jech-Sochor incrustación teorema para asegurarse de que $\ell_\infty(D)$ y todos sus funcionales son transferidos a un modelo de $\sf ZF$. No estoy seguro de si el Booleano primer ideal teorema necesariamente tendrá que ser conservados en la transferencia, pero para ese espacio en particular.
Bibliografía:
- Norbert Brunner, Garnir el sueño de espacios con bases de Hamel. Archivo de la Lógica Matemática, Volumen 26, Número 1, pp 123-126.
