¿Cómo se demuestra que $\ln|f(z)|$ ¿es armónico?

Question

Supongamos que $f(z)$ es analítica y no nula en un dominio $D$ . Demostrar que $\ln|f(z)|$ es armónico en $D$ .

Conozco la ecuación laplaciana pero no sé cómo utilizarla.

Answer 1

EDITAR: Como 5 de la tarde señala a continuación, esto es, por supuesto, lo suficientemente bueno ya que cada dominio en $\mathbb{C}$ es localmente simplemente conectado y la armonicidad es una propiedad local.

Esto era demasiado largo para un comentario, pero pensé que sería bueno saberlo.

Hay una forma mucho más agradable y menos computacional de demostrar este resultado si suponemos además que $D$ está simplemente conectado. En particular, recordemos que si $D$ es un dominio simplemente conectado en $\mathbb{C}$ y $h$ una función holomorfa no evanescente en $D$ entonces $h=e^g$ para alguna función holomórfica $g$ (esto es porque podemos definir una rama del logaritmo en $D$ ).

Por lo tanto, si $D$ estaba simplemente conectado sabríamos que $f=e^g$ para alguna holomorfía $g$ y luego

$$\log|f|=\log|e^g|=\log(\exp(\text{Re}(g))=\text{Re}(g)$$

y como $g$ es armónico (ya que $g$ era holomorfo) hemos terminado.

Answer 2

Nota: aquí se puede probar esto al principio de un curso de análisis complejo. Una vez que sepas cómo definir las ramas del tronco, se recomienda el enfoque de Alex.

Recordemos que la analiticidad se caracteriza por la ecuación de Cauchy Riemann $$ \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0=\frac{\partial \bar{f}}{\partial z} $$ y que el laplaciano satisface $$ \Delta=4\frac{\partial^2}{\partial z\partial \bar{z}}. $$

Ahora diferenciar $$ \frac{\partial}{\partial \bar{z}}\log (f\bar{f})=\frac{1}{f\bar{f}}\left(\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} \bar{f}+f \frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}} \right)=\frac{1}{\bar{f}}\frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}} $$ y diferenciar una vez más $$ \frac{\partial^2}{\partial z\partial \bar{z}}\log(f\bar{f})=\frac{-\frac{\partial \bar{f}}{\partial z}}{\bar{f}^2}\frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}}+\frac{1}{\bar{f}}\frac{\partial^2}{\partial z\partial \bar{z}}\bar{f}=\frac{1}{\bar{f}}\frac{\partial^2}{\partial \bar{z}\partial z}\bar{f}=0. $$

Así que $$\log |f|=\frac{1}{2}\log |f|^2=\frac{1}{2}\log (f\bar{f})$$ es armónico.

Nota: todas las cancelaciones se deben a la ecuación de Cauchy-Riemann.