Así, la integral es: $$I=\int \frac{3x+5}{x^2+4x+8}dx$$ y he aquí cómo lo hizo, pero al final, llegué a un resultado incorrecto: $$x^2+4x+8=(x+2)^2+4=4\bigg[\bigg(\frac{x+2}{2}\bigg)^2+1\bigg]$$ $$I=\frac{1}{4} \int \frac{3x+5}{\big(\frac{x+2}{2}\big)^2+1}dx$$ sustitución: $\frac{x+2}{2}=u$, $dx=2du$, $x=2u-2$ $$I=\frac{1}{2}\int\frac{3(2u-2)+5}{u^2+1}du=\frac{1}{2}\int\frac{6u-1}{u^2+1}du=$$ $$\frac{3}{2}\int\frac{2u-\frac{1}{3}}{u^2+1}du=\frac{3}{2}\int\frac{2u}{u^2+1}du-\frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2+1}=$$ $$\frac{3}{2}\ln|u^2+1|-\frac{1}{2}\arctan(u)+C$$ $$I=\frac{3}{2}\ln\bigg|\frac{x^2+4x+8}{4}\bigg|-\frac{1}{2}\arctan\bigg(\frac{x+2}{2}\bigg)+C$$ Gracias por su tiempo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usted está haciendo bien. Tal vez algunos pasajes se puede hacer más fácilmente (al menos según mis gustos): \begin{align} \int\frac{3x+5}{x^2+4x+8}\,dx &=\frac{1}{2}\int\frac{6x+10}{x^2+4x+8}\,dx\\[6px] &=\frac{1}{2}\int\frac{6x+12-2}{x^2+4x+8}\,dx\\[6px] &=\frac{3}{2}\int\frac{2x+4}{x^2+4x+8}\,dx- \int\frac{1}{x^2+4x+8}\,dx \end{align} La primera integral se puede escribir directamente como $$ \frac{3}{2}\log(x^2+4x+8) $$ y para el segundo que uno puede hacer como se hizo, que es, $2t=x+2$, lo $dx=2dt$, y la integral se convierte en $$ \int\frac{2}{4t^2+4}=\frac{1}{2}\arctan t=\frac{1}{2}\arctan\frac{x+2}{2} $$
Por el retraso de la terminación de la plaza, nos tienen que lidiar con menos de fracciones.
Tenga en cuenta que $$ \log\frac{x^2+4x+8}{4}=-\log4+\log(x^2+4x+8), $$ así, el resultado es el mismo que el tuyo, porque una constante que puede ser absorbido en la constante de integración.
