¿Existe una función con integral infinita en cada intervalo?

Question

Podría dar algunos ejemplos de función medible no negativa $f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ ¿tal que su integral sobre cualquier intervalo acotado es infinita?

Answer 1

El ejemplo más sencillo que conozco se construye de la siguiente manera. Sea $q_{n}$ sea una enumeración de los números racionales en $[0,1]$ . Considere $$g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} \frac{1}{|x-q_{n}|^{1/2}}.$$ Como cada función $\dfrac{1}{|x-q_{n}|^{1/2}}$ es integrable en $[0,1]$ Así es $g(x)$ [¡verifícalo!]. Por lo tanto, $g(x) < \infty$ en casi todas partes, por lo que podemos simplemente establecer $g(x) = 0$ en los puntos donde la suma es infinita.

Por otro lado, $f = g^{2}$ tiene una integral infinita sobre cada intervalo en $[0,1]$ . De hecho, si $0 \leq a \lt b \leq 1$ entonces $(a,b)$ contiene un número $q_{n}$ Así que $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \geq \int_{a}^{b} \frac{1}{|x-q_{n}|}\,dx = \infty.$$ Ahora, para obtener la función $f$ definido en cada punto de $\mathbb{R}$ simplemente defina $f(n + x) = f(x)$ para $0 \leq x \lt 1$ .

Answer 2

Véase el ejercicio 26 (c) en la p. 327 aquí .