Supongamos que tengo un verdadero espacio vectorial $V$ y me gustaría ampliar la multiplicación escalar de tal manera que puedo obtener un espacio vectorial complejo. No es difícil ver que el hacerlo es equivalente a la fijación de algunos lineal mapa de $U : V \to V$ satisfacción $U^2 = -1$ y, a continuación, definiendo $(a + ib)x = ax + bUx$$a+bi \in \mathbb{C}$$x \in V$. La siguiente pregunta natural es que "cuando se hace un mapa de $U$ existe"? La respuesta es "siempre", siempre $V$ es incluso-dimensional o de infinitas dimensiones. Para ver esto, tomar una base para $V$, que se dividió en dos colecciones de igual cardinalidad $(x_i)_{i \in I}$$(y_i)_{i \in I}$. A continuación, definir $Ux_i = y_i$, $Uy_i = -x_i$ y extender de forma lineal.
Pero lo que si tengo un real espacio de Banach $X$? Puedo extender la multiplicación escalar mientras se asegura de que $X$ se convierte en un complejo espacio de Banach bajo el original de la norma? Claramente necesito tomar $U$ es una isometría. Más específicamente, lo que necesita es un $U$ satisfactorio $$ \|ax + bUx\|^2 = (a^2 + b^2) \|x\|^2 $$ para todos $a,b \in \mathbb{R}$, $x \in X$.
Supongo que esto es posible si $X$ es un verdadero espacio de Hilbert $H$ (de la o, incluso, la dimensión infinita). Uno sólo utiliza el mismo truco que en la algebraicas caso con una base ortonormales en lugar en lugar de una base de Hamel.
Hay otros que no son triviales suficiente (o necesario) condiciones para un verdadero espacio de Banach complejo de Banach espacio en el que nos hemos olvidado de cómo multiplicar por el imaginario escalares?
