Valor esperado de la media del movimiento browniano

Question

Para un movimiento browniano unidimensional estándar $W(t)$ calcula:

$$E\bigg[\Big(\frac{1}{T}\int\limits_0^TW_t\, dt\Big)^2\bigg]$$

Nota: No consigo averiguar cómo enfocar este problema. Lo único que se me ocurre es que el término $\frac{1}{T}\int\limits_0^TW_t\,dt$ es como "media". Pero no estoy seguro de cómo seguir adelante. Soy relativamente nuevo en el movimiento browniano. He intentado buscar en el foro algunas pistas, pero no he podido encontrar ninguna. Te agradecería que me orientaras en la dirección correcta. Gracias.

Answer 1

Si recuerda que $\mathrm d(t W_t) = W_t\mathrm dt + t\mathrm dW_t$ puedes escribir tu integral de la otra forma $$ \int_0^T W_t\mathrm dt = TW_T - \int_0^Tt\mathrm dW_t. $$ Si nos olvidamos del factor $\frac1T$ como no afecta mucho a la derivación, obtenemos $$ \mathsf E\left(\int_0^T W_t\mathrm dt\right)^2 = \mathsf E\left[T^2W_T^2\right] - 2T\mathsf E\left[W_T\int_0^T t\mathrm dW_t\right]+\mathsf E\left(\int_0^T t\mathrm dW_t\right)^2 $$ $$ = T^3- 2T\int_0^Tt\mathrm dt+\int_0^Tt^2\mathrm dt $$ donde aplicamos el Ito isometría un par de veces. Con suerte, la parte más difícil ya está hecha y puedes terminar las derivaciones.

Answer 2

Otro enfoque sería demostrar que la variable aleatoria

$$\omega \mapsto \int_0^T W_t(\omega) \, dt$$

es una variable aleatoria normal centrada con varianza $\int_0^T (s-T)^2 \, ds=\frac{T^3}{3}$ . Puede encontrar una prueba aquí . (La demostración es un poco larga, pero no hace falta Itô-Calculus para demostrarlo).

Answer 3

Expande el cuadrado como $$ \left(\int_0^TW_t\, \mathrm dt\right)^2=\int_0^T\int_0^t2W_tW_s\,\mathrm ds\mathrm dt, $$ y utilizar el teorema de Fubini y la identidad $\mathbb E(W_tW_s)=s$ para cada $s\leqslant t$ para concluir que la expectativa que se quiere calcular es $$ \frac1{T^2}\int_0^T\int_0^t2s\,\mathrm ds\mathrm dt=\frac{T}3. $$