Tiempo promedio de espera del autobús

Question

Mis amigos y yo estuvimos "pensando" ayer en el pub sobre lo siguiente: si una persona está parada en una parada de autobús que es atendida por un solo autobús que llega cada p minutos, esperaríamos que el tiempo promedio de espera sea p/2 (lo cual puede ser correcto o no). Pero no teníamos idea de cómo calcular el tiempo promedio de espera si hay más de un autobús. Entonces supongamos que hay n autobuses sirviendo la parada, y cada uno llega una vez en m1, m2 ... mn minutos. ¿Cómo podríamos calcular el tiempo promedio que una persona tiene que esperar por un autobús? ¿Cuál es la teoría detrás de esto?

Gracias

Answer 1

Como se menciona en los comentarios, la respuesta depende en gran medida del modelo utilizado para describir los tiempos de paso de los autobuses. La situación determinística donde los tiempos de paso de los autobuses de tipo $k$ son $s_k+m_k\mathbb N$ para algún tiempo de paso inicial $s_k$ en $(0, m_k)$ es demasiado complicada para ser tratada en su totalidad, por lo que ahora estudiamos dos tipos de suposiciones.

(1) Tiempos de paso completamente aleatorios

Aquí, los tiempos de paso de los autobuses de tipo $k$ son un proceso de Poisson de intensidad $1/m_k$ y los tiempos de paso de autobuses de diferentes tipos son independientes. Entonces, comenzando en el tiempo $t_0$, el próximo autobús de tipo $k$ llega después de un tiempo aleatorio exponencial con media $m_k$, por lo que el tiempo de espera $T$ es tal que $$ \mathbb P(T\gt t)=\prod_k\mathbb P(\text{ningún autobús del tipo}\ k\ \text{en}\ (t_0, t_0+t))=\prod_k\mathrm e^{-t/m_k}=\mathrm e^{-t/m}, $$ donde $$ \frac1m=\sum_k\frac1{m_k}. $$ En particular, $T$ está distribuido de forma exponencial con parámetro $1/m$, por lo tanto $$ \mathbb E(T)=m. $$ El caso $m_1=m_2=\cdots=m_n$ produce $$ \mathbb E(T)=\frac{m_1}{n}. $$ (2) Tiempos de paso completamente periódicos con inicializaciones uniformes aleatorias

Aquí, los autobuses de tipo $k$ pasan en tiempos en $S_k + m_k\mathbb N$ donde $S_k$ es uniforme en $(0, m_k)$ y las variables aleatorias $(S_k)$ son independientes. Ahora, comenzando en el tiempo $t_0$, el próximo autobús de tipo $k$ llega después de un tiempo $t_0+t$ si $t\leqslant m_k$ y si $S_k$ no está en un subintervalo de $(0, m_k)$ de longitud $t/m_k$. Por lo tanto, $$ \mathbb P(T\gt t)=\prod_k\left(1-\frac{t}{m_k}\right),\qquad t\leqslant \bar m=\min\limits_km_k. $$ Una consecuencia es que $$ \mathbb E(T)=\int_0^{+\infty}\mathbb P(T\gt t)\,\mathrm dt=\int_0^{\bar m}\prod_k\left(1-\frac{t}{m_k}\right)\,\mathrm dt. $$ Expandiendo el producto obtenemos $$ \mathbb E(T)=\sum_{i\geqslant0}(-1)^i\bar m^{i+1}\frac1{i+1}\sum_{|K|=i}\frac1{m_K}, $$ donde, para cada subconjunto $K$, $$ m_K=\prod_{k\in K}m_k. $$ Por ejemplo, los intervalos de tiempo $m_1$, $m_2$, $m_3$ con mínimo $m_1$ producen $$ \mathbb E(T)=m_1-\frac{m_1^2}2\left(\frac1{m_1}+\frac1{m_2}+\frac1{m_3}\right)+\frac{m_1^3}{3}\left(\frac1{m_1m_2}+\frac1{m_2m_3}+\frac1{m_3m_1}\right)-\frac{m_1^4}{4m_1m_2m_3}, $$ que se puede simplificar un poco (pero no mucho) en $$ \mathbb E(T)=\frac{m_1}2-\frac{m_1^2}{6m_2}-\frac{m_1^2}{6m_3}+\frac{m_1^3}{12m_2m_3}. $$ El caso $m_1=m_2=\cdots=m_n$ produce $$ \mathbb E(T)=\frac{m_1}{n+1}. $$

Answer 2

Etiquetemos las líneas de autobús que sirven la parada por los números $1, \cdots, n$. La situación puede ser modelada introduciendo una variable aleatoria $X_1, \cdots, X_n$, donde $X_k$ denota el tiempo de llegada del primer autobús de la línea $k$ después de que llegaste a la parada de autobús. Es razonable, bajo la configuración, que cada $X_k$ tenga una distribución uniforme en $[0, m_k)$. Entonces tu tiempo de espera está dado por la variable aleatoria

$$ U = \min\{X_1, \cdots, X_n \}.$$

El problema es que no hay información sobre la distribución conjunta de $X_1, \cdots, X_n$, como señaló LieX. En un extremo, podemos imaginar una situación en la que cada línea de autobús comienza su primera operación a una hora fija, por ejemplo, a las 6:00 am para la línea 1, a las 6:20 am para la línea 2, y así sucesivamente. En el otro extremo, cada línea de autobús opera de una manera tan caótica(!) que el tiempo de la primera operación es completamente aleatorio e independiente.

Ahora, por simplicidad, asumamos que $m_1 = \cdots = m_n$. Entonces, en el primer caso, con la suposición adicional de que la línea de autobús comienza al mismo tiempo, todas las líneas de autobús están sincronizadas. Por lo tanto, tenemos $X_1 = \cdots = X_n$ y, por lo tanto, $U = X_1$. Esto implica que el tiempo de espera esperado es

$$\Bbb{E} U = \Bbb{E} X_1 = \frac{m_1}{2}.$$

Por otro lado, si asumimos el último caso, entonces $X_1, \cdots, X_n$ son $n$ copias independientes de $X_1$ y por lo tanto

$$ \begin{align*} F_{U}(t) = \Bbb{P}(U \leq t) &= 1 - \Bbb{P}(U > t) \\ &= 1 - \Bbb{P}(X_1 > t, \cdots, X_n > t)\\ &= 1 - \Bbb{P}(X_1 > t) \cdots \Bbb{P}(X_n > t)\\ &= 1 - \left( 1 - \frac{t}{m_1} \right)^n \end{align*}$$

Entonces tenemos

$$ \begin{align*} \Bbb{E}U &= \int_{0}^{m_1} t \, dF_{U}(t)\\ &= \left[ t F_{U}(t) \right]_{0}^{m_1} - \int_{0}^{m_1} F_{U}(t) \, dt \\ &= m_1 - \int_{0}^{m_1} \left\{ 1 - \left( 1 - \frac{t}{m_1} \right)^n \right\} \, dt \\ &= \frac{m_1}{n+1}. \end{align*}$$

En conclusión, la respuesta depende de la información no especificada en el problema. Pero dado que los autobuses en la práctica tienen un horario fijo, parece que el primer caso es mucho más razonable.

p.d. Dado que los números coprimos imitan la independencia, podemos esperar que la situación sea muy similar al último caso si $m_1, \cdots, m_n$ difieren razonablemente. Pero de todos modos, parece que no es un problema sencillo, dependiendo en gran medida de los parámetros $m_1, \cdots, m_n$.

Answer 3

En $r$ minutos, verías $r/m_1$ del primer tipo de autobús, y $r/m_2$ del segundo, y ... y $r/m_n$ del $n$-ésimo tipo de autobús, por lo tanto, en total, $$\left({1\over m_1}+{1\over m_2}+\cdots+{1\over m_n}\right)r$$ autobuses en $r$ minutos, por lo que esperas $$\left({1\over m_1}+{1\over m_2}+\cdots+{1\over m_n}\right)^{-1}$$ minutos entre autobuses. Por lo tanto, tu espera esperada debería ser la mitad de eso.

Answer 4

Aquí hay un argumento intuitivo para tu primera consulta. Grafica un gráfico de $t$, el tiempo en el que está el próximo autobús cuando llegas a la parada de autobús, contra $P(t)$. Esto obviamente será un gráfico de línea recta horizontal. Llama $\int_{0}^{p} P(t)dt=P(t)p=1$

¿Qué queremos saber? El tiempo esperado en cada posibilidad (incluyendo un factor para ponderar la probabilidad de ese tiempo).

Grafica un gráfico de $P(t)t$ contra $t$: esto te da la contribución al tiempo promedio de cada uno de los posibles $t$, y evidentemente será un gráfico lineal. El área de este gráfico lineal será $0.5 P(t)p *p$, que es $0.5 p$

Nota que asumí que los autobuses llegan y parten instantáneamente.