Segunda ley de Newton para sistemas de masa variable

Question

Frecuentemente veo la expresión $$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt}(mv) = \frac{dm}{dt}v + ma,$$ que se puede aplicar a sistemas de masa variable.

Pero me pregunto si esta derivación es correcta, porque la segunda ley de Newton está formulada para masas puntuales.

Además, si cambio el marco de referencia inercial, solo $v$ en el lado derecho de la fórmula $F = \frac{dm}{dt}v+ma$ cambiará, lo que significa que $F$ dependería del marco de referencia, lo cual (según yo) no puede ser cierto.

Me doy cuenta de que existe una fórmula para sistemas de masa variable, que se ve bastante familiar a esta, pero no es exactamente la misma, porque el $v$ en el lado derecho es la velocidad relativa de la masa expulsada/adherida. La derivación de esa fórmula también es bastante diferente de esta.

Entonces mi pregunta es: ¿Es esta fórmula, que encuentro frecuentemente en syllabi y libros, correcta? ¿Dónde está mi error?

Answer 1

Entonces mi pregunta es: ¿esta fórmula, que frecuentemente encuentro en los programas de estudio y libros, es correcta? ¿Dónde está mi error?

La ecuación y la expresión posterior de la derivada $$\mathbf F_{ext} = \frac{d\mathbf p}{dt} = \frac{d}{dt} (m\mathbf v) = \frac{dm}{dt} \mathbf v + m\mathbf a,~~~(1)$$

se basan en la idea errónea de que la ecuación

$$ \mathbf F_{ext} = \frac{d\mathbf p}{dt}~~~(2) $$

es válida para sistemas que pierden o ganan masa (donde $\mathbf F_{ext}$ es la fuerza externa sobre el sistema y $\mathbf p$ es el momento del sistema.

El sistema en este contexto a menudo es un cohete sin los gases expulsados lejos. Obviamente, dicho sistema tiene masa variable. Más generalmente, podemos considerar cualquier sistema de masa en un volumen de control bien delimitado como el sujeto para el cual buscamos la ecuación de movimiento.

La idea anterior aún se mantiene en parte, probablemente, debido a algunos textos de relatividad especial que dicen que $\mathbf F_{ext} = d\mathbf p / dt$ es más general que $\mathbf F_{ext} = m\mathbf a$ porque la primera ecuación es válida para partículas relativistas.

Pero en la mecánica no relativista, esta ecuación es válida solo cuando el sistema no pierde ni gana partes.

En el caso más sutil en el que el sistema de interés (dentro del volumen de control) adquiere o pierde partes materiales (como un cohete), la ecuación (2) ya no es válida. Una manera fácil de ver esto es que esta ecuación no es Galilei-invariante: al escribirla en un marco diferente, la fuerza externa no cambia, pero el lado derecho sí.

Sin embargo, una ecuación diferente y correcta para $\mathbf p$ (momento de un sistema de masa variable) se puede derivar de las leyes de Newton cuando se aplican a cada partícula de las que está compuesto el sistema 1:

$$ \mathbf F_{ext} + \mathbf F_{partes~externas} = \frac{d\mathbf p}{dt} + \frac{d\mathbf p_{perdido}}{dt}~~~(4). $$

1) _{Esto se puede hacer porque cada partícula obedece la ley de Newton <span class="math-container">$\mathbf F = m\mathbf a$</span>, ya que no pierde ni gana partes. Una forma de derivar esta ecuación es la siguiente.<br>Usemos la convención donde <span class="math-container">$\mathbf F{a}$</span> significa la fuerza debida al cuerpo <span class="math-container">$a$</span> sobre algo, <span class="math-container">$\mathbf F{-b}$</span> significa la fuerza actuando sobre el cuerpo <span class="math-container">$b$</span> debido a algo, y <span class="math-container">$\mathbf F{a,-b}$</span> significa la fuerza debida al cuerpo <span class="math-container">$a$</span> actuando sobre el cuerpo <span class="math-container">$b$</span>.<br>Es fácil ver que en el tiempo <span class="math-container">$t$</span> <span class="math-container">$$ \sum{i\in V(t)} \mathbf{F}{ext,-i} + \sum{i \in V(t)} \mathbf F{partes~externas,-i} = \sum{i\in V(t)} m_i \mathbf ai.~~~(a) $$</span> Nos gustaría expresar esto sin sumar sobre el índice <span class="math-container">$i$</span>, usando solo cantidades que se refieren al sistema dentro y fuera en su totalidad.<br>Sea <span class="math-container">$\mathbf p$</span> el momento dentro del volumen de control <span class="math-container">$V$</span>. Este cambia con el tiempo por dos razones:<br>1. las partículas que permanecen dentro cambian su momento 2. algunas partículas salen o entran en el volumen de control<br>Por lo tanto, podemos escribir <span class="math-container">$$ \frac{d\mathbf p}{dt} = \sum{i\in V} m_i \mathbf ai - \frac{d\mathbf p{perdido}}{dt}~~~(b) $$</span><br>donde <span class="math-container">$d\mathbf p{perdido}$</span> es el momento perdido del volumen de control debido a las partículas que salen, por unidad de tiempo <span class="math-container">$dt$</span>).<br>Comparando <span class="math-container">$(a),(b)$</span> vemos que la suma de la ecuación se puede expresar más allá de <span class="math-container">$i$</span>, lo que resulta en la ecuación de movimiento para el sistema (dentro del volumen de control) escrita de forma más concisa como <span class="math-container">$$ \mathbf F{ext} + \mathbf F{partes~externas} = \frac{d\mathbf p}{dt} + \frac{d\mathbf p{perdido}}{dt} $$</span> que es la ecuación (4).}

En el caso de masa que abandona el sistema (un cohete), podemos escribir esto de una manera más fácil de recordar $$ \mathbf F_{ext} + \mathbf F_{partes~externas} - \frac{d\mathbf p_{perdido}}{dt} = \frac{d\mathbf p}{dt}~~~(5). $$

Cuando aplicamos esto a un cohete, podemos ver que el momento del cohete cambia debido a 1) la fuerza externa, 2) la fuerza de los gases de escape actuando hacia atrás en el cohete, pero disminuida por el momento perdido del cohete por unidad de tiempo (debido a que los gases de escape abandonan el sistema).

Aunque más general, esto es algo ajeno al punto de vista de la ingeniería sobre los cohetes, porque para fines de viaje, en lugar del momento del cohete, estamos interesados en su velocidad.

En el caso más simple donde las partículas perdidas salen en dirección misma o opuesta a la velocidad del cuerpo $\mathbf v$ (cohete idealizado), esto se puede simplificar aún más, como es común en los libros de texto. Dejemos que el límite del volumen de control esté lejos del cohete, de modo que la velocidad de las partículas que cruzan el límite (en relación al cohete) sea constante $\mathbf{c}$, y que $\mathbf{F}_{partes}$ actuando hacia atrás en el sistema de control en el volumen sea insignificante (los gases de escape están rarificados). Luego, el momento perdido por unidad de tiempo es

$$ \frac{d\mathbf{p}_{perdido}}{dt} = - \frac{dm}{dt}(\mathbf v+\mathbf c)~~~(6) $$ y la ecuación de movimiento se simplifica en

$$ \mathbf{F}_{ext} + \frac{dm}{dt} \mathbf c = m\frac{d\mathbf{v}}{dt}.~~~(7) $$ Es importante darse cuenta también de que $\mathbf v$ no es la velocidad del centro de masa del sistema, sino que se define como $\mathbf p/m$ donde $\mathbf p$ y $m$ son el momento y la masa dentro del volumen de control. La necesidad de esta distinción se ve mejor en este ejemplo: permitamos que el cuerpo tenga velocidad constante $\mathbf v$, pero hagamos que el volumen de control se encoja para que menos y menos del cuerpo esté dentro. El centro de masa del volumen de control tiene una velocidad diferente a $\mathbf v$, de hecho acelera debido al límite móvil del volumen de control. Sin embargo, la velocidad de las partículas materiales no cambia en absoluto.

Answer 2

Probablemente encontrarás útil el artículo de wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Variable-mass_system

Está formulado de manera que $F+v_{rel} \frac{dm}{dt} = ma$, donde $v_{rel}$ es la velocidad relativa de la masa que se está eyectando al centro de masa del cuerpo. Esto responde a tu pregunta sobre los marcos de referencia, porque $v$ será la misma en todos los marcos. El término se mueve al lado izquierdo de la ecuación porque $-v$ describe la velocidad del centro de masa en relación a la materia eyectada.

Answer 3

Solo puedes aplicar la segunda ley de Newton a sistemas cerrados. Sin embargo, como estás aplicando la segunda ley a un sistema abierto, estás obteniendo resultados contradictorios. El procedimiento correcto para resolver un sistema de masa variable es calcular el cambio en el momento y luego igualarlo a

    Fuerza = (cambio en el momento) / intervalo de tiempo pequeño en el que ocurrió el cambio.

Aquí hay un artículo al respecto que puede resultarte útil, aparte del artículo de Wikipedia. Mira este sitio web. http://www.thestudentroom.co.uk/wiki/Revision:Motion_With_Variable_Mass

Answer 4

Primero, deberíamos eliminar algunas concepciones erróneas que en realidad están interfiriendo en la discusión aquí. ¡Las leyes de Newton no fueron formuladas para masas puntuales! Las dos primeras definiciones en el Principia enmarcan los cuerpos como continuos, independientemente de cualquier distinción entre compuesto versus elemental, y lo hacen con el entendimiento implícito de que las mismas leyes se aplican a todo el cuerpo como a cada una de sus partes. Es por esta razón que también tienes la tercera ley, ya que es la condición clave que permite escalar la primera y segunda ley de las partes de un cuerpo al cuerpo entero.

La Definición 1 establece que la cantidad de materia que conforma un cuerpo (su "masa") es - lo que diríamos en lenguaje contemporáneo - la integral de su densidad sobre su volumen. Al afirmar esto, afirma que la masa es aditiva y (tácitamente) que es positiva.

Por "aditividad" también me referiré al sentido más fuerte en el que dos cuerpos pueden ocupar regiones superpuestas, como con la mezcla de fluidos o la inserción de una pajita en un tronco de árbol por un tornado.

La Definición 2 asocia cada parte del cuerpo con una velocidad, y establece - como diríamos hoy en día - que la cantidad de movimiento del cuerpo (su "momentum") es la integral del producto de la densidad y la velocidad sobre el volumen del cuerpo. Esto significa que el momentum también es aditivo, y también te da una definición para la velocidad promedio de un cuerpo y - por estos medios - la posición promedio de un cuerpo, hasta una constante de integración de tiempo. Afirma tácitamente (por el contexto de la discusión posterior) que esta constante (es decir: la constante de integración del tiempo integral de la "cantidad de movimiento") también es aditiva; específicamente que el momento-masa en-un-tiempo-fijo es aditivo.

Este enfoque de parte-entero y de escalabilidad ascendente, donde no se presta atención a la "elementariedad", de hecho, podría verse como un precursor del enfoque que Wilson adoptó más tarde en la Teoría Cuántica de Campos.

No se dice nada en la formulación de Newton de sus leyes sobre masas puntuales en nada de esto. La única suposición (tácita) realizada, al continuar formulando las leyes, es que un cuerpo tiene contenidos consistentes - que su masa sea constante. La suposición no incurre en una pérdida real de generalidad, ya que un cuerpo de masa variable puede tratarse como un componente de un cuerpo más grande de masa constante, donde la elección de dónde trazar la línea divisoria entre lo que compone ese cuerpo, versus lo que compone el resto del cuerpo más grande en el que está contenido, se permite variar con el tiempo.

Podría ser útil revisar la respuesta que di aquí Ecuación del Cohete donde detallo la derivación en términos generales. Ese es exactamente el enfoque adoptado allí.

No hay nada de malo en seguir afirmando $

Answer 5

1. Si una masa puede considerarse un punto o no depende de la escala a la que se estudie. La Tierra puede considerarse una masa puntual cuando estudiamos su movimiento alrededor del sol pero no cuando estudiamos su propia rotación. Las leyes de Newton se aplican a sistemas de muchas partículas.

2. La segunda ley de Newton dice que la tasa de cambio de momento de un sistema es proporcional a la fuerza aplicada. Elegimos unidades de tal manera que la constante de proporcionalidad sea 1. Con esta definición, la ecuación $md\vec{v}/dt + \vec{v} dm/dt = \vec{F}$ tiene sentido con $\vec{v}$ siendo la velocidad del cuerpo en el mismo marco de referencia en el que se miden otros vectores.