Enfoque -1: Transvections/Primaria de las matrices (Claramente el más eficiente de los cuatro pruebas a las que me dan a continuación).
Deje que $A$ ser un verdadero $n\times n$ matriz con determinante positivo.
Primero conecte a un determinante de $1$ matriz positiva determinante de las matrices $A_t:=\left(\sqrt[n]{(1-t)\mbox{det}^{-1}+t} \right)\;$.
Ahora recuerdo que $SL_n(\mathbb{R})$ es generado por el transvections (primaria matrices) $T_{i,j}=I_n+E_{i,j}$ para $i\neq j$ donde $E_{i,j}$ es la matriz $1$ en $(i,j)$ posición y $0$ en otros lugares.
Nota la ruta de acceso de $I_n+tE_{i,j}$ se conecta $T_{i,j}$ $I_n$ en $SL_n(\mathbb{R})$.
El resultado de la siguiente manera.
Enfoque de 0: $LU$ de la descomposición.
Tomar $$ real $n\times n$ matriz con determinante positivo. Existe una matriz de permutación P$$, alower triangular de la matriz $L$ y una triangular superior de la matriz $U$ tales que
$$
A=PLU.
$$
Primero se descomponen $P$ como un producto de la transposición de matrices. A continuación, tenga en cuenta que la ruta de acceso
$$
\left(\matriz{\cos(\pi t/2)&\sin(\pi t/2)\\\sin(\pi t/2)&-\cos(\pi t/2)}\right)
$$
conecta
$$
\left(\matriz{0&1\\1&0}\right)\quad\mbox{y}\quad\left(\matriz{1&0\\0&-1}\a la derecha).
$$
De ello se sigue que podemos conectar a $P$ a una matriz diagonal con coeffients en $\{-1,1\}$ con determinante constante igual a $\mbox{det}P$.
Ahora vamos a $L_t$ y $U_t$ ser las matrices obtenidas a partir de $L$ e $U$, respectivamente, por la multiplicación de la diagonal de coeficientes por $t$. Entonces $L_tU_t$ es un camino continuo de $a$ a una matriz diagonal, con determinante constante igual a $\mbox{det L}\cdot \mbox{det}U$.
La combinación de ambas rutas de acceso para $P$ y $LU$, nos conectamos a $A$ a una matriz diagonal con constante determinante igual a $\mbox{det}$.
Ahora cada diagonal de la matriz con determinante positivo puede ser conectado a $I_n$ por un camino con determinante positivo.
Basta con hacerlo por la diagonal de las matrices con coeficientes en $\{-1,1\}$, ya que cada diagonal de la matriz con determinante positivo puede ser fácilmente conectado a una matriz diagonal en positivo determinante de las matrices.
Ahora está claro que sólo queda demostrar que
$$
\left( \matriz{-1&0\\0&-1}\right)
$$
está conectado a $I_2$ en la $2\times 2$ matrices con determinante positivo.
Aquí está una ruta de acceso:
$$
\left( \matriz{\cos(\pi t)&\sin(\pi t)\\-\sin(\pi t)&\cos(\pi t)}\right).
$$
Enfoque 1: descomposición de valor Singular.
También usaremos el hecho de que el conjunto de todos los reales $n\times n$ unitario (=ortogonal) de matrices tiene dos arcwise de los componentes conectados. Aquella en la que el determinante es igual a $1$, y el que es igual a $-1$. Esto es fácil de demostrar por diagonalización en una base ortonormales. Esto equivale a mostrar que la
$$
\left( \matriz{-1&0\\0&-1}\right)
$$
está conectado a $I_2$ en la $2\times 2$ ortogonal de matrices.
El mismo camino que en el enfoque de 0 de las obras.
Deje que $A$ ser $n\times n$ real de la matriz con determinante positivo, y dejar que $\mathcal P$ denotar este conjunto. Vamos a demostrar que $A$ puede ser conectado a la matriz de identidad $I_n$ en $\mathcal{P}$.
Let A $=U\Sigma V$ ser la descomposición de valor singular de $A$. Recordemos que $U$ y $V$ unitario real $n\times n$ matrices, y que $\Sigma$ es una matriz diagonal con no negativo de las entradas. En este caso, esto significa que la diagonal de coeficientes de $\Sigma$ son todas positivas.
Desde $\mbox{det}>0$, se deduce fácilmente que $\mbox{det}U=\mbox{det}V$.
Ahora tomamos un sendero de $U_t$ de $U$ a $I_n$ y una ruta de acceso de $V_t$ de $V$ a $I_n$ en el real unitario de las matrices. Por la continuidad de la determinante, $\mbox{det}U_t=\mbox{det}V_t=\mbox{det}U=\mbox{det}V$ para todo $t$.
Así que la ruta de acceso
$$
U_t\Sigma V_t
$$
conecta a $A$ a $\Sigma$ en $\mathcal P$.
Sólo queda conectar $\Sigma$ $I_n$ en $\mathcal P$, que es extremadamente fácil.
Enfoque 2: forma normal de Jordan de una matriz cuadrada real.
Tomar una real $n\times n$ matriz $A$ con determinante positivo,
En primer lugar observamos que si $B_t$ es una ruta dentro de $\mathcal P$ a $B$ a $I_n$, y si $P$ es invertible, entonces $P^{-1}B_tP$ es una ruta de acceso desde $P^{-1}BP$ $I_n$ en $\mathcal{P}$. Por lo que es suficiente para demostrar que el reclamo por $Un$ en forma normal de Jordan.
Así que vamos a $A$ ser en forma normal de Jordan con determinante positivo.
Ahora vamos a $A_t$ ser la matriz obtenida a partir de $Un$ al multiplicar cada uno de fuera de la diagonal coeficiente por $t$. Este se conecta $A$ a una matriz diagonal dentro de $\mathcal P$.
Así que todo se reduce a mostrar que cada diagonal de la matriz con determinante positivo puede ser conectado a $I_n$ en $\mathcal{P}$. Ver el final de la aproximación de 0.
