Aprendí el siguiente a partir del Cazador de Análisis Aplicado. Indicar el espacio de Schwartz $${\mathcal S}({\mathbb R}^n):=\{\varphi\in C^{\infty}({\mathbb R}^n):\sup_{x\in{\mathbb R}^n}|x^{\alpha}\partial^{\beta}\varphi(x)|<\infty\quad\text{for every}\quad\alpha,\beta\in{\mathbb Z}_+^n\}.$$ Si $\varphi\in{\mathcal S}({\mathbb R}^n)$, entonces la transformada de Fourier $\hat{\varphi}:{\mathbb R}^n\to{\mathbb C}$ es la función definida por $$\hat{\varphi}(\xi):=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{{\mathbb R}^n}\varphi(x)e^{-i\xi\cdot x}dx,\quad \xi\in{\mathbb R}^n.$$
Supongamos que $f,\varphi\in{\mathcal S}$. Entonces tenemos $$\begin{align}\int\hat{f}(\xi)\varphi(\xi)d\xi&=\int\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\bigg(\int f(x)e^{-i\xi\cdot x}dx\bigg)\varphi(\xi)d\xi\\ &=\int f(x)\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\bigg(\int\varphi(\xi)e^{-i\xi\cdot x }d\xi\bigg)dx\\ &=\int f(x)\hat{\varphi}(x)dx. \end{align}$$ Esta es la motivación de la definición de la transformada de Fourier de templado de distribuciones.
Aquí está mi pregunta:
¿Cómo puedo obtener la segunda igualdad del teorema de Fubini?
La forma que yo sé acerca de que el teorema es $$\int_{Un}\bigg(\int_B f(x,y)dy\bigg)dx =\int_{B}\bigg(\int_A f(x,y)dx\bigg)dy =\int_{A\times B}f(x,y)d(x,y)$$ Pero me pregunto ¿qué es $f(x,y)$ en el caso anterior.
