Secuencia de surjections implica la elección

Question

Estoy leyendo un papel en donde un lado comentario dice que si una secuencia $\langle g_\beta\colon\omega\to\beta\mid\beta<\omega_1\rangle$ es una secuencia de surjections, a continuación, $\omega_1$ es regular.

He intentado demostrado la regularidad de $\omega_1$ a partir de esta secuencia mediante la toma de $\displaystyle\beta=\bigcup_{n<\omega}\beta_n$ para algunos contables de los números ordinales y mostrando que $\beta$ es contable, es decir, para construir un surjection de $\omega$ a $\beta$.

Deje $p(k)=(r,s)$ el Cantor función de sincronización (o cualquier otro bijection de $\omega$$\omega^2$), a continuación, $$F(n) = g_r(s) \text{ where } p(n)=(r,s)$$

Entonces tenemos que para cada $\alpha<\beta$ hay algo de $n<\omega$ tal que $\alpha<\beta_n$, por lo $\alpha\in\operatorname{Rng}(g_n)$ por lo tanto hay algo de $m<\omega$ tal que $g_n(m)=\alpha$$F(p^{-1}(n,m))=g_n(m)=\alpha$.

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Mi pregunta es (ahora que me han demostrado este hecho) ¿por qué esta secuencia de surjections no puede ser creado sin alguna opción?

A mí me parece que, a pesar del hecho de que $\omega_1$ es singular, lo cierto es que para cada $\alpha<\omega_1$ existe un bijection con $\omega$. No hay algunos de los canónica elección de bijections?

Por ejemplo, uno puede tomar la $L^V$ cuando la GCH (y por lo tanto la elección) sostiene, definir la secuencia de surjections tomando el mínimo en $<_L$ (canónica de la orden de $L$) para cada uno de los ordinales.

De curso $\omega_1^L$ no necesita ser $\omega_1^V$, pero el argumento de por qué en algún momento todos los bijections entre contable de los números ordinales y las $\omega$ siendo indefinible está claro para mí.

Answer 1

Necesitas algo de elección para demostrar que existe una secuencia de surjections, aunque, por supuesto, la existencia de cada individuo surjection es gratis.

una. La existencia de una secuencia como esta facilidad implica la existencia de una $\omega_1$-secuencia de los distintos reales. Pero la existencia de una secuencia contradice la afirmación "todos los conjuntos de reales tiene el conjunto perfecto de la propiedad" (es decir, cualquier conjunto de los reales es, ya sea contable o contiene un subconjunto perfecto). Para ver esto, observe que si ${\mathfrak c}\ne\omega_1$, entonces el rango de nuestra secuencia es un contraejemplo. De lo contrario, los reales han tamaño de $\omega_1$, y un fácil recursivo de construcción nos permite construir un conjunto tal que tanto ella como su complemento se reúnen cada conjunto perfecto (esto es posible porque hay ${\mathfrak c}$ muchos perfecto conjuntos). Pero luego de este conjunto ( Bernstein set) contradice la declaración.

Ahora, hay modelos de la teoría de conjuntos sin opción donde todos los conjuntos de reales del conjunto de los bienes, el más conocido es Solovay del modelo donde todos los conjuntos de reales son Lebesgue medibles.

b. Otro argumento señalando que el uso de la secuencia de bijections podemos construir fácilmente un $\omega\times\omega_1$ Ulam de la matriz, lo que demuestra que no son estacionarias subconjuntos de a $\omega_1$ cuyo complemento es también estacionario. Ahora, hay modelos de la teoría de conjuntos sin opción donde $\omega_1$ es medible y, de hecho, todo subconjunto de a $\omega_1$ contiene o es disjunta de un conjunto de club.

c. Finalmente, $\omega_1$ ser singular es consistente. Esto es, por ejemplo, en el Feferman-Levy modelo en el que los reales son un contable de la unión de conjuntos contables. (Tenga en cuenta que la consistencia de la fuerza utilizada en un. es un cardinal inaccesible, en b. es un cardinal medible, y en c. es sólo ZF.)