La prueba de $e^x < x + e^{x^2}$

Question

¿Cómo podemos demostrar la desigualdad de $e^x \le x + e^{x^2}$$x\in\mathbb{R}$?

Answer 1

Nota la desigualdad $e^t \ge t + 1$ todos los $t \in \mathbb{R}$. En particular,$e^{x^2} \ge x^2 + 1$.

Si $x \le -1$, luego $$ e^{x^2} - e^x + x \ge x^2 + 1 - e^0 + x = x(x+1) \ge 0. $$ Si $-1 < x < 1$, luego \begin{align*} e^{x^2} - e^x + x &\ge x^2 + x + 1 - \sum_{k \ge 0} \frac{x^k}{k!} \\ &= \frac{x^2}{2!} - \sum_{k \ge 3} \frac{x^k}{k!} \\ &\ge \frac{x^2}{2!} - \sum_{k \ge 3} \frac{x^2}{k!} \\ &= x^2 \left( \frac12 - \left[e - 1 - \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} \right]\right) \\ &= x^2 \left( 3 - e \right) \ge 0. \end{align*}

Por último, si $x \ge 1$, luego $$ e^{x^2} - e^x + x > e^{x} - e^x + x > 0. $$

Answer 2

Usted tiene que $e^1< 1+e^{1^2}$. Ahora a ver qué pasa con la derivada en cada lado, por ejemplo, tenemos para $x>1$ que $e^x < 1+2xe^{x^2}$ , ya que el $2x>1$$e^{x^2}>e^{1}=e$ , por lo que , cuando se $x>1$, el lado izquierdo es más pequeño que el de R. H un lado, y luego el R. H lado crece más rápido nafterwards, para $x>1$. Trate de ver lo que sucede a la izquierda de $1$.

También tenemos que para $x=1 , e^{-1}<-1+e^1$ , e $h(x)=1+2xe^{x^2}$ disminuye más rápidamente que $e^{x}$ $(-\infty,-1]$ (Significado $h(|x|) $ crece más rápido de lo $e^{|x|}$). No creo que esto es demasiado difícil de probar; por $x<-1$,$1-2e^{x^2}< e^{x}$.

Todo el problema viene por el hecho de que $e^{x^2}$ crece mucho más rápido que $e^x$ $[1, \infty)$ y disminuye de manera más rápida en $(-\infty, -1]$. En $[-1,1]$ el resultado tiene, es un poco tarde ahora, pero voy a tener una prueba mediante el martes por la noche, o que no voy a borrar este.

Answer 3

$$e^{x} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots \le 1 + x + 2 \left(\left( \frac{x}{2} \right )^2+\left( \frac{x}{2} \right )^3 +\dots \right)\le 1 + x+\left( \frac{x}{2} \right )^2 \left( \frac {4}{2 - x}\right)$$

$$x + e^{x^2} \ge x +1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} = 1+ x+ \left( \frac{x}{2} \right )^2 2(2+x^2) \ge 1+ x+ 4 \left( \frac{x}{2} \right )^2 $$

La desigualdad se cumple para todos los $\Bbb R \setminus (1,3)$, vamos a $b \in (1,2)$, También, $$e^{(1+b)^2}+1+b \ge e^{(1+b)^2} \ge e^{1+b}$$ por tanto, la desigualdad se cumple para todos los $x\in \Bbb R$

Answer 4

Hmmm.... Voy a darle una oportunidad. Considere la función $f(x) = e^{x²} + x - e^x$, $x \in \mathbb{R} $. Encontrar el mínimo global de esta función. Resulta ser cero. ¿Que demostrarlo ?

Nota: La segunda derivada es $e^{x^2} (4 x^2+2)-e^x$ que es estrictamente positivo. $e^{x^2}$ hace menos de $x$$0$$1$, pero que la dificultad es superada por la de multiplicar por 2 (*)

(*)Que la dificultad no es superado sólo por la multiplicación por 2, yo lo aprendí de la manera difícil. Usted todavía tiene que probarlo !

Yo no conteste a la pregunta, pero voy a seguir el post aquí. Me recuerda a mi una vez fracasado los esfuerzos!